La curiosa relació entre la matemàtica i la física

Quina trajectòria segueix un objecte quan cau subjecte a l’atracció de la Terra?  Aquesta pregunta la va respondre per primer cop Galileu en el segle XVII. Segons Smolin a “Time Reborn”, és un dels descobriments més meravellosos de la història de la ciència.  Per què això no va ser descobert uns 2.000 anys abans pels grecs quan ja tenien pràcticament els mateixos coneixements que tenia Galileu.? Segons Smolin,  una de els raons estaria en la divisió que feien els antics entre el món terrestre subjecte a canvis i imperfeccions i el món celeste, permanent i perfecte. Aquest sí estava subjecte a lleis matemàtiques precises, però no el món terrestre.  Aquests prejudicis no van afectar a Galileu que va descobrir que tots els objectes (si no tenim en compte el fregament amb l’aire) cauen a la mateixa velocitat per l’efecte de la gravetat i això implica que la trajectòria d’un objecte llançat a l’aire és una paràbola.

 

La paràbola és una corba que es defineix pel fet de que els seus punts equidisten d’una recta anomenada directriu i d’un punt anomenat focus .

 

Definició geomètrica de la paràbola        
 

 

                                                     Trajectòria d’un objecte llançat a l’aire

            

    
 

I aquí tenim una pregunta curiosa. Com és que un concepte matemàtic com és una paràbola té res a veure amb un fet de la naturalesa?

 

Wigner en el 1960 va publicar un article sobre aquesta qüestió titulat “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”.  De totes maneres aquí trobem algunes opinions que difereixen de la de Wigner:

 

“La física es matemàtica no perquè en coneguem tant del món físic, sinó perquè en coneixem tan poc; només són les seves propietats matemàtiques les que podem descobrir.”

—Bertrand Russell

 

“Només hi ha una sola cosa que sigui més irraonable que la irraonable efectivitat de les matemàtiques en la física i és la irraonable inefectivitat de les matemàtiques en la biologia.”

—Israel Gelfand

 

El bor pot haver estat clau en l'aparició de la vida

En la temporada 2009/2010 es va trobar a l’Antàrtica un meteorit procedent de Mart que ara uns investigadors de la Universitat de Hawaii han vist que té una alta concentració de bor, l’element número 5 de la taula periòdica.  El bor està oxidat en forma de borats i en una concentració 10 vegades més alta que en cap altra meteorit analitzat fins avui.  Els borats poden haver tingut un paper important en el desenvolupament de la vida a la Terra,  ja que poden estabilitzar la ribosa, un component del RNA que alguns consideren un precursor del DNA i que pot haver estat una de les primeres molècules amb la capacitat d’emmagatzemar informació i passar-la a la següent generació.

 

A l’intentar sintetitzar RNA en el laboratori, sense ajut biològic, un dels passos més difícils és la formació de ribosa.  Sense els borats els productes químics que hi havien a la Terra en el moment de l’aparició de la vida no poden formar la ribosa.  En presència de borats la ribosa es produeix espontàniament i és estable.

 

A la Terra hi han sediments, argiles i dipòsits de borats , però, fins ara, no s’havien trobat en cossos extraterrestres. 

 

Les argiles d’aquest meteorit que contenen els borats semblen tenir uns 700 milions d’anys. Degut als moviments tectònics no tenim a la Terra argiles tan antigues.  Es molt possible que Mart i la Terra tinguessin en el passat més coses en comú que les que tenen avui en dia. Per tant, la presència de borats a Mart en el passat fa pensar que també podien haver estat presents en la Terra primitiva i contribuir a l’aparició de la vida.

La recesió espanyola

En els darrers dies s’ha parlat de que pot ser haguem tocat fons en el segon trimestre del 2013 i de que pot ser començarem a créixer en el tercer trimestre. Ara bé, encara que això fos cert només voldria dir que la situació no es deteriora més, no que tornem a estar en el punt de partida quan vam començar a baixar, ni  en el ritme de creixement que teníem en el període anterior a la recessió.

En aquest gràfic, tret dels Comentarios de la Coyuntura  Económica d’IESE, es veu que el màxim del PIB real (descomptada la inflació) es va assolir el primer trimestre del 2008.  En comparació, en el primer trimestre del 2013 hem caigut 7 punts.  No obstant, en el segon gràfic veiem quin hauria d’haver estat el PIB recent si haguéssim continuat amb el ritme de creixement anual que portàvem des de l’anterior màxim en el primer trimestre del 1993 i que era del 3% anual. En aquesta hipòtesi la pèrdua seria de 23 punts i si sumem les pèrdues acumulades en aquests cinc anys ens en anem a 719.000 milions d’euros que és gairebé el 72% del PIB.

Ara bé, podem confiar amb les recents previsions dels caps polítics de l’Estat Espanyol?  No hi ha dubte de que l’economia espanyola ha tingut una extraordinària resposta en la ràpida correcció del dèficit corrent que era el més gran del món desenvolupat en termes relatius i el segon més gran en termes absoluts, desprès del dels E.U.A.  Tot apunta que aquest any tindrem superàvit per la bona marxa de les exportacions i les minvades importacions que fan que , fins i tot, el dèficit comercial pugui arribar aviat a zero.  No obstant, el deute exterior, sobretot privat i ara també el públic, són molt grans i la taxa d’atur esborronadora.  Però amb superàvit corrent comencem a poder disminuir els deutes en lloc d’incrementar-los.

 

En aquest nou gràfic (de la mateixa font), veiem l’evolució d’un indicador conegut amb el nom de FEDEA, que és un indicador sintètic, que integra altres indicadors com les dades de l’afillament a la Seguretat Social, índex de producció industrial, índex del comerç detallista, consum d’energia elèctrica, matriculació de turismes, el PIB i l’indicador del sentiment europeu  (www.fedea.es).  Com veiem, aquest indicador segueix amb molta precisió el PIB. Doncs bé, les darreres dades que el segon gràfic mostren a 17 de maig semblen indicar un final del túnel, ja que l’indicador suavitzat (en vermell) és pla.

Veurem si això es confirma en els propers mesos.

 

Una nova manera de descobrir civilitzacions extraterrestres: el projecte Colossus

La cerca de civilitzacions extraterrestres s’ha realitzat fins ara per mitjà del programa SETI que intenta captar senyals de radio que no siguin d’una font natural.  Trobar evidència d’altres civilitzacions, o inclús entrar en contacte amb elles, seria, segurament, el descobriment més important de la història de la humanitat. Ara diversos astrònoms, físics, filàntrops, homes de negoci i constructors de telescopis han estat treballant durant dos anys per a captar la signatura infraroja d’una possible civilització  una mica més avançada que la nostra en un radi de 60 anys llum.

En aquest radi hi ha uns 600 estels dels quals coneixem la temperatura i la localització. Segons l’observatori espacial Kepler més de la meitat de les estrelles tenen almenys un planeta i també se sap que al voltant d’un terç de les estrelles similars al Sol tenen un planeta de la grandària de la Terra o més gran a la zona habitable.

L’estudi veu possibilitats de detectar una civilització avançada en els propers 5 a 10 anys desprès de la construcció del telescopi. La tecnologia per a construir-lo existeix i, per no encarir-lo massa, es limitaria el seu camp de visió a uns pocs segons d’arc i tindria menys miralls, això sí de la màxima dimensió possible. Apart de la cerca de civilitzacions extraterrestres (ETC) es podria usar per a estudiar quàsars, forats negres i superfícies estel·lars, però no per a observar galàxies, per exemple.

El telescopi hauria de tenir una resolució que permetés distingir un estel del seu planeta que poden estar a una distància angular de 50 a 800 mil·lèsimes de segons d’arc. Per a que us feu una idea del que això significa el disc de Plutó, que és força petit, es veu des de la Terra amb un arc de 100 mil·lèsimes de segon.  El telescopi estaria equipat amb un coronògraf que és un instrument que bloqueja la llum de l’estel i fa que un objecte proper que emet poca llum sigui visible. El telescopi permetria veure planetes que tinguin una lluminositat que sigui una centmilionèsima de la del seu estel.

La Terra produeix una energia de 15 bilions de watts, equivalent al 0,04 per cent de la que rep del Sol i la potència solar que usa la fotosíntesi és del 0,2% del total de llum que cau sobre el nostre planeta.  Es calcula que en els temps romans el consum d’energia era una mil·lèsima part de la que es avui. El consum d’energia augmenta cada any un 2,5% mentre que la població creix menys de la meitat. El contingut de la informació es dobla cada dos anys i les cultures, a l’avançar, fan créixer el contingut de la informació i l’energia per a manipular-la al final domina l’energia consumida. El telescopi que es projecta podria detectar civilitzacions que produïssin una energia equivalent a 1% de la que reben del seu estel. Al ritme actual aquest nivell seria assolit per la Terra en uns 130 anys. Per tant estem parlant de civilitzacions no gaire més avançades que la nostra.

A la Terra tenim una tendència a concentrar l’ús d’energia en grans ciutats i podem pensar que una civilització avançada faria el mateix.  Al rotar el planeta el telescopi captaria aquestes variacions de radiació infraroja. Es tractaria de combinar observacions a diferents longituds d’ona per a distingir les variacions degudes a causes naturals, com la geografia, de les causes artificials.

El telescopi Colossus tindria 77 m de diàmetre, més del doble del més gran actualment en projecte que tindrà 30 m

 

Les zones urbanes són les que emeten més llum i també més radiació infraroja

 

 

Els orígens de la moral

Acabo de llegir el llibre “The Bonobo and the Atheist” de Frans de Waal, un primatòleg holandés-americà que està en la llista del Time de les 100 persones més influents del món.  El tema del llibre és els orígens de la moral, un debat en el que han participat filòsofs i teòlegs durant segles i, més recentment, psicòlegs, primatòlegs i neurocientífics. Un dels reptes que els creients posen als ateus és: “Si no existeix Déu tot està permés”. Frank de Waal diu: “Pot ser és una mania meva, però sóc caut amb aquelles persones per les quals les seves creences són la única cosa que els separa d’una conducta repulsiva”.

De Waal exposa desenes d’anècdotes de bonobos, ximpanzés, micos, elefants i altres mamífers amb les que pretén il·luminar aquest problema.  Els mamífers, segons l’autor, busquen i donen afecte, tenen empatia i són altruistes. De fet, la cura que la mare té del seu petit és, en general,  la inversió més llarga i costosa en un altre ésser viu que trobem a la natura, començant en la concepció i acabant anys més tard.  Els exemples més significatius d’empatia i altruisme en el món animal els tenim entre els ximpanzés i els bonobos. La veritat  és que, desprès de llegir aquest llibre, no puc si no considerar aquestes espècies com germanes. No va ser fins l’any 1929 que es va descobrir que els bonobos eren una espècie diferents dels ximpanzés.  Els bonobos exemplifiquen del dictum dels hippies: “Make love, not war”.  Els ximpanzés poden ser extremadament agressius. Els bonobos, en canvi, arreglen sovint les diferències amb el sexe i ho fan promíscuament, tots amb tots.

Aquests animals, com que són animals socials, tenen les seves regles.  Les femelles es defensen entre elles de les agressions dels mascles i intervenen per a posar pau entre mascles rivals i els mascles d’alt rang també fan d’àrbitres de disputes. En el cas dels ximpanzés s’han observat mascles alfa fent de policia i controlant les lluites i defensant als més febles, encara que el més fort sigui el seu millor amic.  Es a dir, intenten obtenir el millor per a la comunitat.

L’evidència fòssil ens indica també que les nostres avantpassats homínids donaven suport a individus que poc podien contribuir a la societat, malalts que patien paràlisis o no podien mastegar. La neurociència també descobreix que fer el bé activa els circuits del cervell associats amb la recompensa. Tots aquests arguments porten a de Waal a la conclusió que la moral és anterior a la religió, al menys en un centenar de milers d’anys. Quan es vivia en petits nuclis, tothom es coneixia i el que no respectava les regles de convivència sofria ostracisme. Es quan comencem a viure en societats més grans, en els que podem fer coses ocultament, quan va sorgir al necessitat d’interioritzar un Vigilant que ho veu tot i que ens pot castigar si fem malifetes.  De Waal creu que no va ser Déu qui ens va donar la moral sinó la moral la que ens va donar Déu.

S’han fet experiments en els que voluntaris de diverses creences religioses i també ateus se’ls dóna a llegir texts en els que apareix la paraula “Déu”, “profeta” o “diví”. Hi ha un altre grup similar de control al qual no se li han donat a llegir els texts. Tot seguit als dos grups se’ls dona la oportunitat d’agafar 10 monedes de dòlar, dient-los que les que deixin seran pel que vingui desprès d’ells. Els del primer grup van deixar de promig 4,22 dòlars al següent, els que no havien llegit els texts van deixar només 1,84 dòlars de promig. No obstant, en un segon experiment, els texts es van substituir per altres en els que apareixien les paraules “cívic”, “jurat”, “tribunal” i els efectes van ser semblants. Els que havien llegit aquests texts van deixar 4,44 dòlars de promig.

Aquest model secular s’està provant a les societats europees occidentals, especialment a l’Europa del Nord. Les institucions cíviques estan prenent el rol que abans tenien les esglésies.

Nosaltres, com els bonobos, som animals socials. La moral ens ve de les nostres emocions hereves d’una llarga línia evolutiva. I la moral evoluciona amb la societat. Les actituds que avui tenim envers els homosexuals no són les mateixes que teníem fa cinquanta anys i, com ja sabem, en no totes les societats actuals les actituds davant la homosexualitat són les mateixes. Com diu Philip Kitcher: “La ètica pot ser simplement una cosa sobre la que ens posem d’acord”. Basada en les emocions, avui també està guiada per l’intel·lecte. Emocionalment podem sentir un cert rebuig per persones diferents (en raça, religió o inclinació sexual, per exemple), però el nostre sentit actual de la justícia ens diu que hem de respectar aquestes diferències.

 

 

Progrès en la demostració de la conjectura dels nombres primers bessons

                                                        Yitang  Zhang

Els nombres primers són aquells que només són divisibles per 1 i per ells mateixos, és a dir no es poden descompondre en factors estrictament més petits. 7 és un nombre primer i 6 no ho és.  Els nombres primers són en l’aritmètica com els àtoms en la física perquè qualsevol nombre té una única factorització en primers. Exemple 60= 2x2x3x5.  Ja des del temps d’Euclid sabem que hi ha un nombre infinit de primers. En efecte, si només n’hi hagués un nombre finit p(1)…p(n) està clar que  n = p(1) x p(2) x...xp(n) + 1 seria un nombre que no seria divisible per cap d’ells i, per tant, ha d’existir un altre primer que el divideixi i que no estigui en la llista (podria ser ell mateix com passa si multipliquem 2 x 3 x5 i sumem 1) . Es a dir, la llista no és completa com havíem suposat i no pot ser finita.

 

La distància mitjana entre nombres primers cada vegada es fa més gran i de fet el famós teorema dels nombres primers diu que la distància mitjana entre nombres primers consecutius és de l’ordre de ln N (logaritme en base e de N) quan N és molt gran. O expressat d’una altra forma:

 

Si p(x) és el nombre de nombres primers menors o iguals que x la densitat dels nombres primers en un interval de 1 a x ,p(x)/x , és aproximadament igual a  1/lnx i el límit del quocient quan x tendeix a infinit és 1.  Malgrat això existeix la conjectura de si hi han infinits nombres primers bessons, és a dir els primers separats només per 2 unitats com 29 i 31 o  2,003,663,613 × 2^195,000 − 1 i 2,003,663,613 × 2^195,000 + 1.

 

Ara el matemàtic xinés Yitang Zhang ha demostrat que existeixen una infinitat de nombres primers separats per una constant N que no és 2 encara (com diu la conjectura) però N és un nombre inferior a 70 milions.  Un resultat important perquè és la primera vegada que es demostra que hi ha una infinitat de nombres primers separats per una constant.

 

Us preguntareu el perquè d’aquest interès en els nombres primers. Avui en dia les transaccions segures a internet es fan usant, principalment, un codi que es basa en la dificultat de descompondre un nombre que és producte de dos primers molt grans si no coneixem els factors. Es a dir, els ordinadors potents poden multiplicar dos primers molt grans, però no poden fer fàcilment el procés invers. Es el que passa també quan busquem en una llista telefònica el telèfon d’una persona. Fer-ho al revés, trobar la persona que té un determinat número de telèfon, és extremadament difícil.

 

Però, l’interès dels matemàtics no ve donat per les aplicacions que puguin tenir els nombres primers.  Les matemàtiques són el llenguatge més universal. Si un dia entrem en contacte amb una altra civilització intel·ligent segur que ells hauran estudiat els nombres primers. De fet, podem, fins i tot, especular amb altres universos, pot ser amb lleis i constants físiques fonamentals diferents, però l’aritmètica i els nombres primers sempre existiran, de fet estan fora de l’univers físic en l’univers del qual ja ens parlava Plató.  Són el més semblant a Déu.  Els nombres primers són a la vegada tant universals i tan plens d’impenetrables  misteris. Heus ací la seva fascinació.

 

El Dr. Zhang va treballar com a comptable i també en un restaurant d’entrepans, desprès del seu doctorat i abans d’obtenir una plaça acadèmica. Ha dedicat 3 anys a demostrar aquest teorema.

 

 

 

 

El nombres transcendents

 

Els matemàtics s’han vist obligats a anar ampliant el concepte de nombre. Els grecs només concebien els nombres naturals i les fraccions, però aleshores els pitagòrics es van adonar que la diagonal d’un quadrat d’un costat igual a la unitat no era un nombre racional (una fracció) sinó que era el que ara anomenem irracional.  Si dividim dos nombres naturals, com que el residu de la divisió sempre ha de ser menor que el divisor,  o bé la divisió es para perquè al anar obtenint decimals arriba un moment que la divisió és zero o bé els residus es van repetint i obtenim una expressió decimal periòdica. Si dividim, per exemple, 23 per 25 dóna 0,92. Si dividim 13 per 7 obtenim la successió de residus (al baixar zeros per a obtenir més decimals) 6,4,5,1,3,2 i aleshores tornem al 6 i obtenim una expressió decimal periòdica: 1,857142857142…Però l’expressió decimal de l’arrel de 2 (la diagonal del quadrat de costat unitari) és una expressió decimal que no es repeteix i no acaba mai.

Més endavant el món occidental va acceptar els nombres negatius en el segle XVII quan es va introduir la comptabilitat i una empresa podia tenir més deutes que actius. Els nombres imaginaris també van ser acceptats al principi com a mode d’operar en la fórmula de la solució de l’equació de tercer grau quan, en alguns casos,  la solució era un nombre real que per calcular-lo, en els passos intermedis, calia operar amb nombres imaginaris.  Els matemàtics volen fugir de les excepcions i és més convenient que es puguin calcular les arrels quadrades de tots els nombres i les solucions de qualsevol equació polinòmica i en hi ha una de ben senzilla x2 + 1=0 que no tindria solució si no inventéssim el nombre “i”.

Si ara ens limitem als nombres reals, dins d’aquest conjunt tenim els racionals (tots els enters positius i negatius i totes les fraccions) i la resta que són els irracionals. Dins d’aquests hi ha dues categories: 1) els nombres algebraics que són solucions reals d’equacions polinòmiques amb coeficients enters com la raó àuria (1,618...) solució de x2-x-1=0   2) La resta, nombres que s’anomenen transcendents. Els més coneguts són e= 2,71828... i pi = 3,14159... Hermite va demostrar en el 1873 la transcendència de “e” i Lindemann la de pi en el 1882. De fet es coneixen molt pocs nombres transcendents encara que existeixen molts més reals transcendents que algebraics ja que el conjunt de nombres algebraics és numerable, és a dir, es pot posar en correspondència biunívoca amb els nombres naturals i, en canvi, el conjunt dels nombres transcendents no.  e elevat a pi també és transcendent i 2 elevat a arrel quadrada de 2 també.

El nombre e apareix de forma natural en molts processos, per exemple en la radioactivitat on la quantitat d’una substància radioactiva decreix de forma proporcional a la quantitat de la substància.  En la solució de la senzilla equació diferencial dx/dt=kx intervé el nombre e.

El nombre pi és més conegut com la raó entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. Hi ha una coneguda fórmula establerta per Euler que lliga els cinc nombre més famosos de la matemàtica:  

 

Per cert, avui es coneix l’expressió decimal de pi amb més de 10 bilions de decimals.  Això serveix per a provar nous i potents ordinadors i també ve motivat per la mania humana de superació de marques.  Ara bé, amb 39 decimals podríem calcular la circumferència de l’univers visible amb un error inferior al radi d’un àtom d’hidrogen (suposant que coneguéssim el radi de l'univers visible amb absoluta precisió), segons Paul Hoffman, l’autor del llibre biogràfic (The Man Who Loved Only Numbers) sobre el famós matemàtic hongarès Paul Erdös.