Anècdotes de matemàtics

En el seu llibre “Mathematics and the Real World” Zvi Artstein explica algunes anècdotes sobre matemàtiques. En un món hiperconnectat digitalment, com es que els matemàtics sovint viatgen milers de kilòmetres per a parlar amb col·legues? Diu que en la fase creativa/intuïtiva no hi ha cap tecnologia que substitueixi les converses cara a cara. Cita un exemple curiós. Diu que, sovint, un col·lega entra al seu despatx per a mostrar-li un raonament matemàtic i li ajudi a veure que no s’ha equivocat o a on s’ha encallat. Es inútil que li digui que ell no és coneixedor del tema. El col·lega omple la pissarra amb totes les seves fórmules i deduccions i, desprès d’una estona, sense que ell hagi dit una sola paraula, s’atura, pensatiu, i diu: “Moltes gràcies, ara entenc el què ha passat. M’has ajudat molt”.  I és veritat, el fet de que l’hagi escoltat una persona que pot tenir només una lleugeríssima idea del que ha estat parlant ha estat una gran ajuda.

El pensament intuïtiu treballa en el subconscient i els exemples explicats per Poincaré i Hadamard ho posen de manifest. La solució pot aparèixer en el moment més insospitat, quan els matemàtics pugen a un autobús anant a una excursió o quan s’estan afaitant. Naturalment la solució no surt d’aquesta forma espontània sinó que han estat treballant intensament en el problema.

Una altra cosa que ajuda a trobar una solució és saber que la solució existeix, per exemple quan algú ja ha demostrat un teorema a vegades algú troba una solució molt més senzilla que la original. Un exemple notable és el del famós matemàtic John Milnor quan era estudiant i es va quedar dormit en una classe, mentre el professor explicava a la pissarra un problema obert. Al despertar-se va mirar la pissarra i va pensar que era un exercici que el professor havia posat a la classe per a la propera setmana. La setmana següent va arribar a la classe amb la solució.

Paul Ërdos, un dels matemàtics més viatjats i més prolífics va definir una vegada un matemàtic com una màquina en que li poses cafè i per l’altra banda surten teoremes.  Ërdos oferia premis de 100 dòlars a matemàtics que trobessin la solució de problemes. Quan li van preguntar si tenia prou diners per a pagar a tots els que li presentaven la solució va dir que els donava un xec i tenia l’esperança de que no el cobressin i guardessin la seva signatura (ell era molt conegut). Ërdos es famós entre altres coses perquè va col·laborar amb molts matemàtics i això ha servit per a fer una classificació. Si un matemàtic té el número d’Ërdos 1 vol dir que ha col·laborat amb ell, si té el número 2 vol dir que ha col·laborat amb algú que té el número 1, etc.

Un altre exemple divertit és el del medalla Fields Steve Smale. Li van donar una beca per a dedicar l’estiu a la recerca i la institució que li havia donat la beca  va descobrir que havia passat l’estiu a les platges de Rio de Janeiro i li van demanar que tornés els diners. Ell va dir que de fet estava treballant quan estava estirat a la sorra i, de fet, va ser allí on va fer algunes de les seves millors contribucions. Va demostrar-ho davant del comitè que investigava el cas i a aquest no li va quedar més remei que admetre-ho.

Nota: La font d’aquest bloc és el llibre de Zvi Artstein “Mathematics and the Real World”.  

 

 

La cerca de vida extraterrestre

La cerca de vida extraterrestre es fa a diversos nivells segons la proximitat dels astres on es dirigeix aquesta cerca. A més proximitat es fan servir instruments o tècniques més fiables i els objectius poden ser més modests o més reptadors: des de vida microbiana a civilitzacions amb nivell tecnològic similar al nostre o civilitzacions superavançades.

Amb instruments robòtics podem detectar l’existència d’aigua a la Lluna o Mart, un líquid que sembla imprescindible per la vida, almenys tal i com la coneixem. Amb sondes o telescopis podem detectar indicis d’aigua a llocs com el satèl·lit de Júpiter Europa o el de Saturn Encèlad.

Amb els telescopis que estan ja essent instal·lats o en projecte i el nou telescopi espacial James Webb potser podrem detectar signes de vida a exoplanetes (fora del sistema solar) estudiant l’espectre de la seva atmosfera.

La vida microbiana pot ser freqüent, però una altra cosa és la vida animal multicel·lular o la vida intel·ligent. El projecte SETI està intentant captar algun senyal electromagnètic d’una civilització d’un nivell similar al nostre. En els seus 55 anys d’existència només ha captat un senyal que podria ser d’una font no natural, però al no haver estat captada una segona vegada no s’ha pogut confirmar. SETI ha investigat milers dels sistemes solars més propers i espera investigar-ne un milió abans del 2040, per la qual cosa els seus promotors confien en detectar algun senyal abans d’aquesta data. Malgrat tot, com que el nostre Sol no és un estel molt vell, si la vida intel·ligent no és un fenomen rar hauria d’haver aparegut ja en algun altre sistema solar molt anterior al Sol. A partir d’aquí es creu que, si una civilització no desapareix prematurament i té les mateixes ambicions d’expansió que ha demostrat l’home al llarg de la història, aquesta civilització en desenes o centenes de milions d’anys, un període curt des del punt de vista cosmològic, hauria d’haver colonitzat tota la galàxia. Això es coneix com la paradoxa de Fermi: si existeixen extraterrestres, com es que no han arribat a la Terra?

Ara un equip de científics, conduits pel professor de la Pennsylvania State University Jason Wright, han estudiat 100.000 grans galàxies entre les més properes sense trobar indicis de civilitzacions superavançades. Contràriament al projecte SETI no han buscat senyals de ràdio sinó radiació tèrmica inusual. La idea és que una civilització molt avançada necessitarà tanta energia que intentarà captar-ne una gran part de la que emet el seu estel construint el que s’anomena una esfera gegantina de Dyson, és a dir un  gran col·lector de llum solar que faria l’estel més fosc als ulls externs, però que podria ser detectat per la radiació infraroja que es produiria per l’ús d’aquesta energia.

Dit d’una altra forma, estudiant l’univers més proper (aquestes 100.000 galàxies) es pot dir que no s’ha detectat cap fenomen que no es pugui explicar d’una forma natural. Entenem per això una relació inusual entre calor/llum.  (Queden uns pocs casos, uns 90, en que la relació calor/llum no és extrema per acabar d’investigar).  La conclusió podria ser que si hi ha civilitzacions intel·ligents nosaltres som una de les primeres, és a dir no hi ha civilitzacions amb un grau de desenvolupament molt més avançat que el nostre.

Hi ha, però una altra possible conclusió. En aquesta investigació hem projectat el nostre creixement energètic, un 3% anual de mitjana en els darrers anys, en altres civilitzacions. En el 2011, Karl Schroeder, un escriptor de ciència ficció va vaticinar que “una civilització avançada és indistingible de la naturalesa”. La idea és que una civilització superavançada intentaria arribar al equilibri tèrmic a una relació d’equilibri respectuosa amb la naturalesa.

Dyson, que ara té 91 anys, diu que els nostres esforços en la cerca de alienígenes són semblants a la cerca de gats negres en una habitació fosca.  Ens es impossible imaginar com pensarien. Això no vol dir que no haguem de seguir insistint en aquesta cerca.

 

La principal font d'aquest bloc és l'article de Lee Billings en el Scientific American Digital del 17.4.2015

La darrera invenció

En els darrers temps moltes persones han decidit ésser més respectuoses amb el medi ambient demanant ésser enterrats en fèretres que es descomponguin aviat. Altres han decidit la cremació per no saturar els cementiris, però això xoca amb la preocupació per l’increment del CO2. Ara, una organització anomenada Urban Death Project està assajant un mètode per a convertir cadàvers en adob orgànic. D’aquesta manera els cadàvers ajudarien a crear noves vides vegetals. De fet, els pagesos ja ho fan amb els cadàvers d’animals. La fundadora de Urban Death Project , Katrina Spade, que és arquitecta, ja ha dissenyat un edifici per a realitzar aquest procés que consisteix en afegir materials rics en carboni com serradures o trossets de fusta que cobreixen el cos i afegir-hi humitat.  Si es fa bé, els bacteris comencen la seva feina i descomponen els teixits en aminoàcids i, al final, molècules riques amb nitrogen es combinen amb molècules riques amb carboni creant una terra fèrtil. 

Nota: La font d’aquest bloc és l’article de Catrin Einhorn “A Project to Turn Corpses into Compost” en el New York Times del 13.4.2015. 

 

Com es poden fer transaccions segures per internet?

Els nombres primers són fascinants. Són els àtoms de l’aritmètica perquè tot nombre natural es descompon  en factors primers.  La seva distribució és misteriosa si bé el teorema dels nombres primers ens en dona una idea. Si designem per p(x) el nombre de nombres primers menors o iguals que x, la densitat de nombres primers representada per p(x)/x s’aproxima a 1/lnx quan x tendeix a infinit, no en el sentit de que la diferència s’aproxima a zero sinó en que el quocient s’aproxima a 1. lnx és el logaritme neperià de x i per a que entengueu la funció p(x)/x us poso un exemple: p(10) =4 (hi ha 4 primers menors o iguals que 10: 2,3,5 i 7). Per tant, p(10)/10= 0,4.  Una altra manera d’expressar-ho és que p(x) es pot aproximar per x/lnx.  Hi ha conjectures famoses sobre nombres primers com, per exemple, que existeixen un nombre infinit de primers bessons, que són els que es diferencien en dues unitats com el 17 i el 19.  Avui en dia, encara no se sap si això és cert, encara que existeixen resultats que s’hi aproximen.

La pregunta és si els nombres primers tenen aplicacions pràctiques i la resposta és que sí. Serveixen per a codificar dades, degut a que multiplicar nombres primers molt grans no és difícil pels ordinadors, però, en canvi, descompondre un nombre  gran producte de dos primers és molt difícil.  (La situació variaria el dia que sigui possible construir ordinadors quàntics). Un  dels mètodes que es fa servir avui en dia per a codificar dades, per exemple, quan fem transaccions per internet és el mètode RSA inicials dels tres científics del MIT que el van proposar: Ron Rivest, Adi Shamir i Leonard Adelman.  Els tres es van basar en treballs previs de Ralph Merkel i, posteriorment, Martin Hellman i Whitfield Diffie sobre sistemes criptogràfics de clau pública. A  Rivest, Shamir i Adelman se’ls va atorgar el premi Turing en el 2002, el més prestigiós de les ciències de la computació.

Per explicar com funciona el sistema RSA, suposem que jo us vull convèncer de que conec els resultats d’una loteria que es coneixeran demà sense revelar-los. Escullo un nombre primer gran que contingui els sis nombres de la loteria, el multiplico per un nombre primer més gran, us dono el resultat de la multiplicació i us dic que en certes posicions del factor primer petit està el resultat de la loteria. Quan al dia següent es coneixen els resultats, us dono els dos factors primers i vosaltres podeu comprovar que el producte és el nombre que us he donat. També podeu veure que en les posicions esmentades en el factor primer petit trobeu les xifres del nombre premiat.

Aquest mètode es pot fer servir per a enviar missatges xifrats. Abans d’enviar el missatge us dono un nombre primer molt gran. Quan us vull enviar un missatge escullo un nombre primer molt gran on hi poso en forma numèrica el missatge.  Us puc enviar en forma pública el producte dels nombres primers. Només vosaltres que coneixeu un dels factors podeu descobrir el segon factor i d’aquesta forma llegir el missatge que transporta. Aquest és, en essència, de forma simplificada,  com funciona el sistema RSA.  G.H. Hardy en el seu famós llibre “A Mathematician’s Apology” va dir que les matemàtiques pures, en particular, la seva especialitat, la teoria de nombres naturals, no tenia aplicacions pràctiques. Com veieu, es va equivocar.

Nota: Una de les fonts d’aquest blog és el llibre de Zvi Artstein “Mathematics and the Real World”.  

 

 

La màfia de PayPal

Com sabeu, PayPal és una companyia que facilita els pagaments via internet. Va sortir a borsa poc desprès dels atemptats de l’onze de setembre i les dificultats amb les que es va trobar l’equip directiu els va enfortir i es van haver d’espavilar-se en la difícil conjuntura en la que es van trobar. En el juliol del 2002 i, davant del fet que el 50% dels usuaris d’Ebay usaven el sistema PayPal en les seves transaccions en competència amb el propi sistema d’Ebay, aquesta empresa va comprar PayPal per 1.500 milions de dòlars.

Els cofundadors i l’equip directiu no es van retirar prematurament com haguessin pogut fer amb els diners de la venda sinó que es van convertir en la principal font de finançament per les noves start-ups que es van crear en la difícil crisi de les dot.com. Avui en dia, aquestes emprenedors s’han convertit en emprenedors en sèrie (serial entrepreneurs) i financers de capital risk d’empreses de molt èxit com ha estat, per exemple, Peter Thiel amb Facebook.

Són coneguts a Silicon Valley com la “màfia PayPal”. Anomenem-los:

 

Keith Rabois, que havia estat el cap de desenvolupament de negoci a PayPal, és ara soci de Khosla Ventures, i té accions de Airbnb, Stripe, Share i Palantir. Airbnb és l’empresa que facilita llogar habitacions per turistes i Palantir, valorada en més de 9.000 milions de dòlars i fundada per Peter Thiel, és la creadora de software usat per diverses agències dels E.U.A. per combatre el terrorisme.

Jeremy Stoppelman, que va ser vicepresident de enginyeria a PayPal, ha invertit personalment en Square, Uber, Pinterest, Airbnb i Palantir i és conseller delegat de Yelp, valorada en 3.500 milions de dòlars. Com pot ser sabreu Uber està valorada en més de 40.000 milions de dòlars. Per cert, totes aquestes empreses que encara no han sortit a borsa i ja estan valorades en més de 1.000 milions de dòlars són denominades com “unicornis”, com  l’espècie mítica i extraordinària.

Peter Thiel, un dels cofundadors i conseller delegat de PayPal, i potser el membre més destacat d’aquesta exitosa “màfia” , conjuntament amb Elon Musk,  és inversor en Airbnb, Palantir, SpaceX i Stripe, i va ser  un dels primers inversors en Facebook. En el seu llibre “Zero to One” defensa les innovacions radicals en front de les graduals i dóna suport a les empreses que aconsegueixen amb les seves innovacions crear monopolis, ja que la competència ferotge no fa altre cosa que rebaixar els marges i impedir seguir innovant.

Elon Musk, cofundador de PayPal, ha estat l’impulsor de Space X, valorada en 12.000 milions de dòlars i Tesla, que ja ha sortit a borsa i val 23.000 milions de dòlars. Space X és la primera companyia privada que ha volat a l’estació espacial. Es inversor en Solar City, una empresa que està portant l’electricitat solar a moltes cases americanes, de la que és president del consell d’administració i que està dirigida per dos dels seus cosins als que va donar la idea.

Roelof Botha, soci de Sequoia Capital, ex-membre de l’equip directiu PayPal ha invertit a Square.  Ell manifesta: “El camí més segur cap a la demència és parar de treballar quan ets jove”.

Yammer va ser fundada per David Sacks, que havia estat director d’operacions de PayPal. Yammer fou venuda a Microsoft en el 2012 per 1.200 milions de dòlars.

LinkedIn, valorada en 32000 milions de dòlars, va ser cofundada per Reid Hoffman, un altre membre de l’equip directiu de PayPal.

Youtube, comprada per Google per 1.600 milions de dòlars en el 2006, va ser fundada per tres exdirectius de PayPal: Chad Hurley, Steve Chen i Jawed Karim.

Scott Banister, un altre dels membres de PayPal,  va cofundar un servei d’e-mai, IronPort, que va vendre a Cisco Systems per 830 milions de dòlars.

Max Levchin va vendre la companyia de jocs socials, Slide, a Google en el 2010. Recentment ha començat una companyia de pagaments, Affirm, amb la participació d’antics col·legues.

Com veieu, el nostre capitalisme, amb tots els respectes, perquè aquí tenim també empreses innovadores i dinàmiques de categoria mundial com Zara, està lluny d’aquesta creativitat quasi ilimitada.  

Nota: La font d’aquesta bloc és l’article de David Gelles en el New York Times del 1.4.2015 i el llibre de Peter Thiel “Zero to One”.

 

John Nash, premi Abel

                                                             John Nash

 

Abans de tot: Qui és J.F. Nash Jr. I què és el premi Abel?

Tots recordareu la pel·lícula “Una ment meravellosa”, basada en la vida d’aquest excel·lent matemàtic que va patir d’esquizofrènia. Potser també sabreu que desprès de recuperar-se de la seva malaltia li va ser concedit el premi Nobel d’Economia pel seus resultats sobre la teoria de jocs.

El premi Abel va ser instituït l’any 2002 pel govern noruec en homenatge a Niels Henrik Abel, en el 200 aniversari del seu naixement i va ser concedit per primera vegada en el 2003. De fet havia estat proposat uns 100 anys abans per un altre matemàtic famós, Sophus Lie, però el projecte es va abandonar quan Noruega es va separar de Suècia. Tant Lie com Abel van ser matemàtics noruecs de primera línia en el seu temps.

El premi Abel es considera l’equivalent del Nobel i està dotat en sis milions de corones noruegues (més de 650.000 euros).

Els que heu seguit aquest bloc recordareu que hem parlat de la medalla Fields com l’equivalent al Nobel.  Hi han, però, diferències. El premi Abel se sol donar a glòries consagrades, una mica com ho fa el Nobel (no sempre). En canvi, la Medalla Fields només es concedeix a matemàtics de menys de 40 anys amb la idea d’estimular-los a seguir investigant. I el seu valor monetari només és de 15.000 dòlars canadencs, però el seu prestigi és enorme perquè, endemés, es concedeix cada quatre anys en el Congrés Mundial de Matemàtiques, encara que sovint s’atorga més d’una medalla. Diversos matemàtics han aconseguit tant la medalla Fields com el premi Abel i, fins i tot, un altre premi també molt important, el premi Wolf. Entre ells: Serre, Deligne, Thompson i Milnor.

Aclarides les dues preguntes parlem una mica més de Nash i el perquè ha rebut ara, amb 86 anys, el premi Abel. De fet, l’ha compartit amb Louis Nirenberg, un altre matemàtic americà, “per contribucions sorprenents i seminals a la teoria d’equacions diferencials no lineals en derivades parcials i la seves aplicacions a l’anàlisi geomètric”, en paraules del comitè del premi. Els dos matemàtics no van arribar a col·laborar mai, però es van influir mútuament en els anys 50. Els teoremes que Nash va provar en els anys 50 sobre equacions diferencials en derivades parcials estan considerats pels matemàtics coneixedors de la seva obra com el seu treball més profund.

Nash va estudiar al que avui s’anomena Carnegie Mellon University i la carta de recomanació que el seu mentor va escriure per anar a fer el doctorat va consistir en una sola frase: “Aquest home és un geni”. Nash va ser admés a Harvard, però va preferir anar a Princeton on en el 1950 va escriure la seva tesi sobre jocs no cooperatius que 44 anys més tard li va valdre el Nobel.

En el 1956 estava treballant en un dels famosos problemes de Hilbert, el dinové, i quan ja l’havia resolt es va assabentar que un altre matemàtic italià, Ennio de Giorgi, ho havia fet abans que ell. Es va especular que de no ser per aquest fet, hauria obtingut la Medalla Fields. Un altre dels seus famosos teoremes és el fet que tota varietat Riemanniana pot ser inmersa isomètricament en un espai euclidià. Encara que aquest enunciat no us dirà res als no matemàtics, val la pena recordar que la geometria Riemanniana és la base de la teoria de la Relativitat General d’ Einstein

Nash ha obtingut altres premis importants com el premi Steele i el premi Von Neumann.  En el 2011 la National Security Agency va fer públiques cartes de Nash que demostren que en els anys 50 ja va anticipar conceptes moderns de criptografia.

 

Cotxes sense conductor

Encara que s’ha estat fent proves, tant en circuits tancats com en carreteres, els cotxes sense conductor semblen una utopia de ciència ficció, però ara algunes marques tradicionals com Mercedes, BMW, Audi i Ford ho estan estudiant molt seriosament i incloen ja algunes característiques en els cotxes actuals com l’aparcament automàtic.  Apple sembla que està reclutant un gran nombre d’especialistes en automoció i aquesta podria ser una nova línia de productes desprès del smartwatch i la smarttv i d’aquesta forma competir amb Google.  Naturalment, les lleis s’hauran de adaptar perquè en cas d’un accident, de qui serà la responsabilitat, de la marca del cotxe o de la persona que era dins del vehicle?

De totes formes ara l’argument s’està girant en favor de la seguretat del cotxes sense conductor. El responsable d’aquest projecte a Google, Chris Urmson, diu que espera que aquests vehicles estiguin al mercat abans dels 5 anys ja que el seu fill, que té onze anys, pot obtenir el carnet als setze i això li fa por.  Segons Elon Musk, de Tesla, que ha assegurat que en pocs mesos el seu cotxe més luxós incorporarà un nou software que li donarà la capacitat de ser autopilotat, en 20 anys la majoria de cotxes aniran sense conductor i preveu que més enllà sigui il·legal conduir un cotxe. Musk va declarar: “No pot ser que una persona faci funcionar una màquina de matar de dues tones!” Tinguem en compte que els automòbils causen la mort de 1,2 milions de persones cada any, més que les guerres i els actes de terrorisme. Només als E.U.A. són 33.000 morts, que és l’equivalent de que un Boeing 737 s’estavellés  cada dia laborable sense supervivents.

Serà interessant veure si aquestes profecies es compleixen, si eslògans com “el plaer de conduir” deixen de tenir sentit i si això influirà en la venda global d’automòbils, si deixen de tenir el factor emocional que ara tenen.

Nota: La font d’aquest bloc és LinkedIn.