Progrès en la demostració de la conjectura dels nombres primers bessons

                                                        Yitang  Zhang

Els nombres primers són aquells que només són divisibles per 1 i per ells mateixos, és a dir no es poden descompondre en factors estrictament més petits. 7 és un nombre primer i 6 no ho és.  Els nombres primers són en l’aritmètica com els àtoms en la física perquè qualsevol nombre té una única factorització en primers. Exemple 60= 2x2x3x5.  Ja des del temps d’Euclid sabem que hi ha un nombre infinit de primers. En efecte, si només n’hi hagués un nombre finit p(1)…p(n) està clar que  n = p(1) x p(2) x...xp(n) + 1 seria un nombre que no seria divisible per cap d’ells i, per tant, ha d’existir un altre primer que el divideixi i que no estigui en la llista (podria ser ell mateix com passa si multipliquem 2 x 3 x5 i sumem 1) . Es a dir, la llista no és completa com havíem suposat i no pot ser finita.

 

La distància mitjana entre nombres primers cada vegada es fa més gran i de fet el famós teorema dels nombres primers diu que la distància mitjana entre nombres primers consecutius és de l’ordre de ln N (logaritme en base e de N) quan N és molt gran. O expressat d’una altra forma:

 

Si p(x) és el nombre de nombres primers menors o iguals que x la densitat dels nombres primers en un interval de 1 a x ,p(x)/x , és aproximadament igual a  1/lnx i el límit del quocient quan x tendeix a infinit és 1.  Malgrat això existeix la conjectura de si hi han infinits nombres primers bessons, és a dir els primers separats només per 2 unitats com 29 i 31 o  2,003,663,613 × 2^195,000 − 1 i 2,003,663,613 × 2^195,000 + 1.

 

Ara el matemàtic xinés Yitang Zhang ha demostrat que existeixen una infinitat de nombres primers separats per una constant N que no és 2 encara (com diu la conjectura) però N és un nombre inferior a 70 milions.  Un resultat important perquè és la primera vegada que es demostra que hi ha una infinitat de nombres primers separats per una constant.

 

Us preguntareu el perquè d’aquest interès en els nombres primers. Avui en dia les transaccions segures a internet es fan usant, principalment, un codi que es basa en la dificultat de descompondre un nombre que és producte de dos primers molt grans si no coneixem els factors. Es a dir, els ordinadors potents poden multiplicar dos primers molt grans, però no poden fer fàcilment el procés invers. Es el que passa també quan busquem en una llista telefònica el telèfon d’una persona. Fer-ho al revés, trobar la persona que té un determinat número de telèfon, és extremadament difícil.

 

Però, l’interès dels matemàtics no ve donat per les aplicacions que puguin tenir els nombres primers.  Les matemàtiques són el llenguatge més universal. Si un dia entrem en contacte amb una altra civilització intel·ligent segur que ells hauran estudiat els nombres primers. De fet, podem, fins i tot, especular amb altres universos, pot ser amb lleis i constants físiques fonamentals diferents, però l’aritmètica i els nombres primers sempre existiran, de fet estan fora de l’univers físic en l’univers del qual ja ens parlava Plató.  Són el més semblant a Déu.  Els nombres primers són a la vegada tant universals i tan plens d’impenetrables  misteris. Heus ací la seva fascinació.

 

El Dr. Zhang va treballar com a comptable i també en un restaurant d’entrepans, desprès del seu doctorat i abans d’obtenir una plaça acadèmica. Ha dedicat 3 anys a demostrar aquest teorema.

 

 

 

 

El nombres transcendents

 

Els matemàtics s’han vist obligats a anar ampliant el concepte de nombre. Els grecs només concebien els nombres naturals i les fraccions, però aleshores els pitagòrics es van adonar que la diagonal d’un quadrat d’un costat igual a la unitat no era un nombre racional (una fracció) sinó que era el que ara anomenem irracional.  Si dividim dos nombres naturals, com que el residu de la divisió sempre ha de ser menor que el divisor,  o bé la divisió es para perquè al anar obtenint decimals arriba un moment que la divisió és zero o bé els residus es van repetint i obtenim una expressió decimal periòdica. Si dividim, per exemple, 23 per 25 dóna 0,92. Si dividim 13 per 7 obtenim la successió de residus (al baixar zeros per a obtenir més decimals) 6,4,5,1,3,2 i aleshores tornem al 6 i obtenim una expressió decimal periòdica: 1,857142857142…Però l’expressió decimal de l’arrel de 2 (la diagonal del quadrat de costat unitari) és una expressió decimal que no es repeteix i no acaba mai.

Més endavant el món occidental va acceptar els nombres negatius en el segle XVII quan es va introduir la comptabilitat i una empresa podia tenir més deutes que actius. Els nombres imaginaris també van ser acceptats al principi com a mode d’operar en la fórmula de la solució de l’equació de tercer grau quan, en alguns casos,  la solució era un nombre real que per calcular-lo, en els passos intermedis, calia operar amb nombres imaginaris.  Els matemàtics volen fugir de les excepcions i és més convenient que es puguin calcular les arrels quadrades de tots els nombres i les solucions de qualsevol equació polinòmica i en hi ha una de ben senzilla x2 + 1=0 que no tindria solució si no inventéssim el nombre “i”.

Si ara ens limitem als nombres reals, dins d’aquest conjunt tenim els racionals (tots els enters positius i negatius i totes les fraccions) i la resta que són els irracionals. Dins d’aquests hi ha dues categories: 1) els nombres algebraics que són solucions reals d’equacions polinòmiques amb coeficients enters com la raó àuria (1,618...) solució de x2-x-1=0   2) La resta, nombres que s’anomenen transcendents. Els més coneguts són e= 2,71828... i pi = 3,14159... Hermite va demostrar en el 1873 la transcendència de “e” i Lindemann la de pi en el 1882. De fet es coneixen molt pocs nombres transcendents encara que existeixen molts més reals transcendents que algebraics ja que el conjunt de nombres algebraics és numerable, és a dir, es pot posar en correspondència biunívoca amb els nombres naturals i, en canvi, el conjunt dels nombres transcendents no.  e elevat a pi també és transcendent i 2 elevat a arrel quadrada de 2 també.

El nombre e apareix de forma natural en molts processos, per exemple en la radioactivitat on la quantitat d’una substància radioactiva decreix de forma proporcional a la quantitat de la substància.  En la solució de la senzilla equació diferencial dx/dt=kx intervé el nombre e.

El nombre pi és més conegut com la raó entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. Hi ha una coneguda fórmula establerta per Euler que lliga els cinc nombre més famosos de la matemàtica:  

 

Per cert, avui es coneix l’expressió decimal de pi amb més de 10 bilions de decimals.  Això serveix per a provar nous i potents ordinadors i també ve motivat per la mania humana de superació de marques.  Ara bé, amb 39 decimals podríem calcular la circumferència de l’univers visible amb un error inferior al radi d’un àtom d’hidrogen (suposant que coneguéssim el radi de l'univers visible amb absoluta precisió), segons Paul Hoffman, l’autor del llibre biogràfic (The Man Who Loved Only Numbers) sobre el famós matemàtic hongarès Paul Erdös.

Algunes coses interessants sobre els neutrons

El neutró va ser descobert en el 1932 per Chadwick. El neutró lliure no és una partícula estable. En poc menys de 15 minuts la meitat d’un nombre determinat de neutrons lliures s’haurà desintegrat. Un neutró està composat de 2 quarks down i un up. Un dels downs es transforma en un up, que per la força forta queda atrapat junt amb els altres dos quarks i constitueix un protó, i deixa anar un bosó W que ràpidament es desintegra en un electró i un antineutrí alliberant una energia de 0,782 MeV en un procés conegut per radioactivitat beta. Dins del nucli l’energia que uneix els nucleons és típicament superior a 0,782 MeV i, per això, encara que la meitat de la nostra massa està formada per partícules inestables, no ens desintegrem.

Durant un curt temps posterior al Big Bang no hi havia àtoms ni nuclis i els neutrons formaven part d’un plasma i no estaven “protegits” com ho estan ara dins dels nuclis. Per tant, si aquest estat de coses hagués durat més temps, quasi tots els neutrons haguessin decaigut, però, al refredar-se l’univers per l’expansió, la majoria van anar a parar al nucli de l’heli 4. Altres neutrons han estat subproductes de les reaccions estel·lars. Gràcies a dades obtingudes pel satèl·lit Wilkinson sobre la radiació de fons, la teoria de la nucleosíntesi en el Big Bang només té un paràmetre lliure que és la taxa de reaccions nuclears. Si puguéssim mesurar amb més exactitud la vida mitja del neutró podríem determinar millor l’abundància de l’heli 4 primordial. Desgraciadament mesures recents de la vida mitja del neutró són inconsistents, des de 886 a 889 segons amb una incertesa del 0,3%. Ara es creu que es podrà baixar aquesta incertesa al 0,1% usant el que s’anomena una trampa Penning.

En la teoria de la inflació, la matèria i energia són creades just desprès de l'etapa d'inflació pel decaïment d'un camp escalar. Aquí apareix un dels problemes de la física. On és l'antimatèria? En el laboratori sempre que s'obté matèria a partir d'energia s'obté també antimatèria. El físic soviètic Sajarov va suggerir que aquesta asimetria entre matèria i antimatèria s'havia d'obtenir de la teoria. Ell va identificar tres criteris que si s'haguessin complert simultàniament en el Big Bang conduirien a aquesta asimetria. 1) Violació de la constància del nombre de barions (els barions són combinacions de tres quarks i els més coneguts són el protó i el neutró). 2) Violació de la simetria CP (carga-paritat, que vol dir que si en unexperiment canviem les partícules de positives a negatives, per exemple, i fem una simetria especular, res no canvia). Com que la simetria CPT sí que es conserva això significa la ruptura de la simetria en el temps. 3) Ruptura de l'equilibri tèrmic. El model standard conté processos on es produeixen les dues primeres condicions i la tercera es podria haver produit en el Big Bang, però la teoria de Sajarov prediu una asimetria entre matèria i antimatèria molt més petita que la observada. Això fa pensar que les condicions 1) i 2) haurien de ser observades en la desintegració del neutró i ara es fan experiments per observar-ho.

Finalment, experimentant amb neutrons també podem averiguar si la llei de la gravitació canvia a distàncies petites de l'ordre d'una dècima de mm. Una de les explicacions del perquè la gravetat és molt més feble que les altres forces és de que les línies de camp gravitatori s'escampen a altres dimensions, si bé la ignorància que tenim sobre la matèria i l'energia fosques donen peu a altres especulacions sobre noves interaccions. S'espera que aquestes interaccions puguin aparèixer també a aquesta distància de 0,1 mm i el neutró és una partícula ideal per a fer els experiments a aquestes distàncies.

Les ulleres de Google

Les famoses ulleres de Google ja han estat presentades a la premsa i als desenvolupadors d’aplicacions.  Es podran posar en marxa simplement fent una afirmació amb el cap i podran fer fotos amb una picada d’ullet, però aviat ja ni això ens farà falta per interactuar amb els nostres telèfons o ordinadors.  Podrem enviar un email sense treure el telèfon de la butxaca i podrem encendre els llums de la casa només pensant-ho.  Moltes d’aquestes noves tecnologies han estat desenvolupades per ajudar a minusvàlids.  En un cas recent,  una dona que no havia usat el seu braç durant quinze anys va poder accionar un braç robòtic, servir-se cafè d’una ampolla i retornar la ampolla al seu lloc, tot només imaginant els moviments.  Samsung ja està testant tabletes que es controlen amb el cervell mitjançant una mena de casc d’esquiador. 

En el mercat ja hi han productes com el que podem veure aquí que comercialitza l’empresa Neurosky i que serveix per a jugar jocs en l’ordinador o telèfon mòbil. No està gaire lluny el moment en que podrem canviar el canal de la TV només pensant en l’acció.

 

Descoberta una nova galàxia nana veïna de la Terra

 

Recentment s’ha descobert una nova galàxia veïna (en termes cosmològics) a la Via Làctia. Es una galàxia nana situada a uns cinc o sis milions d’anys-llum de la nostra. Té nomes uns centenars de milers d’estels que es comparen amb les centenars de milers de milions de la Via Làctia. Descoberta pel radiotelescopi d’Arecibo a Puerto Rico i confirmada la seva existència per un telescopi òptic , Leo P no s’hagués descobert si no fos per l’abundància d’estrelles joves blaves brillants. El que la fa singular a aquesta galàxia nana és que no ha sofert pertorbacions per part d’altres galàxies i d’aquí el nom de Leo perquè està en aquesta constel·lació i P,  per prístina.  El material de les galàxies nanes sol ésser absorbit per les seves veïnes properes més grans, però aquest no és el cas de Leo P que es troba relativament aïllada.

La bioelectricitat controla la forma i l'estructura dels teixits

Michael Levin és un investigador de la Tufts University que està estudiant el domini poc conegut dels senyals bioelèctrics. En les membranes de les cèl·lules hi ha proteïnes que envien ions de potassi, hidrogen, sodi i d’altres elements cap a dins o cap enfora de les cèl·lules. Algunes proteïnes actuen com a bombes que mouen els ions contra el seu gradient de concentració i altres, anomenades canals iònics, deixen passar, passivament, els ions, però es poden tancar o obrir d’acord a certs estímuls.  Com a resultat, cèl·lules que tenen els mateixos gens activats i les mateixes proteïnes en les seves membranes poden estar en diferents estat elèctrics. Els canals i les bombes, actuant conjuntament, estableixen un voltatge transmembrànic, Vmem,  que pot influir a altres cèl·lules o contribuir a gradients de voltatges en àrees més extenses.

Des del 1950 se sap que les cèl·lules dels teixits que ja no creixen tenen un voltatge transmembrànic relativament alt d’entre 50 i 90 mV. Per contra, les cèl·lules que es divideixen ràpidament com les embrionàries, les cèl·lules mare o les canceroses tenen, típicament, un Vmem de menys de 30 mV. Endemés,  s’havia ja observat que, alterant aquesta diferència de potencial de les cèl·lules in vitro,s’induïa les cèl·lules a dividir-se o aturava la seva divisió.

No obstant, es creia que alterar aquest potencial in vivo no funcionaria,  ja que, o bé seria fatal o els resultats serien ininterpretables. Levin va decidir tractar de experimentar sobre aquesta qüestió per la qual cosa necessitava noves eines. Per això va combinar uns tints fluorescents que responen a canvis de camps elèctrics locals i els va canviar usant les bombes i els canals iònics de manera genètica o farmacològica, amb RNA missatger o mitjançant biomolècules que alteren les proteïnes de les membranes.  Disposa sempre de més d’una manera de fer aquests canvis per assegurar-se de que els efectes no depenen de ions o substàncies específiques. 

Què han descobert Levin i els seus col·legues?

El que han vist és que els senyals bioelèctrics sovint provoquen una cadena d’esdeveniments molt més complexos que els propis senyals. Els capgrossos, per exemple, no poden regenerar parts del cos perdudes, una vegada passat un cert grau de desenvolupament.  Però quan Levin va baixar el potencial elèctric de les cèl·lules en el lloc de l’amputació de la cua o la cama, per exemple, aquestes extremitats dels capgrossos van tornar a créixer normalment.  Es sorprenent que amb un mètode tan simple, ja que el canvi en el voltatge no contenia cap informació sobre l’estructura dels nervis, muscles o dits de la cama, el capgròs regenerés l’extremitat.  Un dels objectius a llarg terme de la bioenginyeria és regenerar òrgans o parts del cos danyats per un accident o una malaltia.  Això es extremament difícil, però pot ser que, gràcies a la manipulació dels senyals elèctrics,  es pugui fer un salt sense que els bioenginyers entenguin a fons com s’assoleix l’objectiu.

Endemés, Levin ha descobert que, variant el potencial elèctric en altres parts, podia impedir que els ulls es desenvolupessin o, pel contrari, induir que es formessin en altres parts del cos de la granota sempre posant el Vmem al nivell específicament adequat pel desenvolupament dels ulls.  Experimentant amb certs cucs també van aconseguir induir-los dos caps o que no en tinguessin de cap,  ja que, en aquest cas dels cucs,  el gradient del potencial va del baix en el cap a l’alt a la cua.

Això pot tenir també aplicacions al càncer,  ja que les cèl·lules tumorals tenen un Vmem més baix que les cèl·lules normals.  Així s’ha vist que es poden convertir cèl·lules canceroses en normals pujant el Vmem i, al baixar-lo hi havien cèl·lules que es metastizaven i s’estenien pel cos tal i com ho fan les canceroses, encara que les cèl·lules sobre les que s’actuava estiguessin lluny de les cèl·lules que es metastizaven i que eren influïdes per una combinació de senyals químics i elèctrics.

Aquest sistema de senyals bioelèctrics encara és misteriós,  al mateix temps que ja ha demostrat ésser potent. Per Levin, que és informàtic de formació,  caldria estudiar un gran nombre de dades bioelèctriques de forma similar com s’ha estudiat en dates recents el genoma i el proteonoma, és a dir es tractaria de desxifrar el codi bioelèctric com s’ha anat desxifrant el genètic des dels temps del descobriment de Watson i Crick.  Levin sosté que la biologia no només està regida pels gens i les substàncies químiques, sinó per aquest nou nivell elèctric.

El misteri de l'origen de l'univers

En física tenim dues grans teories que han estat comprovades moltes vegades i amb precisions molt grans, la relativitat general i la mecànica quàntica.  La primera és una extensió de la teoria de la gravitació de Newton que difereix d’ella  especialment en entorns de grans concentracions de masses com els estels de neutrons o els forats negres i governa la cosmologia. La segona aplica al microcosmos de l’àtom i especialment a la física de partícules on la gravetat es negligible, ja que aquesta força és molt més feble que la electromagnètica, per exemple.  La repulsió entre dos electrons que tenen cargues negatives idèntiques és 10 elevat a 42 més gran que la força d’atracció gravitatòria entre ells.

Resulta que aquestes teories són incompatibles entre elles i, si bé en poques ocasions coincideixen els seus camps d’aplicació com acabem d’explicar, un dels reptes de la física moderna és trobar una teoria que les unifiqui. Això és especialment cert en entorns de forta gravitació en espais o temps reduïts com són el centre dels forats negres o l’origen de l’univers. Les equacions d’ Einstein en ambdós casos donen solucions infinites, és a dir no es poden aplicar i cal una teoria quàntica de la gravitació.  Dues de les principals teories que s’han postulat per aquesta unificació són la teoria de cordes i la teoria anomenada gravetat quàntica de bucles (loop quantum gravity).  Aquestes teories són molt sofisticades matemàticament, en especial la teoria de cordes. Ed Witten, un dels principals col·laboradors de la teoria de cordes i el físic més citat actualment,  no ha guanyat cap premi Nobel, però sí la medalla Fields que és el seu equivalent en matemàtiques. Un Nobel no es guanya fins que una teoria està comprovada experimentalment. Aquestes teories són difícils de comprovar perquè es distingeixen de teories més acceptades només a grans energies, impossibles de reproduir ni en els acceleradors més grans.  Aquestes teories exploren espais tan petits com 10 a la -35 m. Les distàncies que posen al nostre abast els acceleradors de partícules més potents són d’aproximadament 10 a la -17 m.  Per tant, es fa difícil comprovar-les, encara que poden haver-hi formes indirectes de fer-ho. Per exemple, la teoria de cordes prediu la supersimetria, una teoria que unifica els dos tipus de partícules elementals, els fermions (les partícules de la matèria com els quarks i els electrons) i els bosons (les partícules de les interaccions com el fotó i el gluó).  Cada una d’aquestes partícules tindria una parella de l’altra classe. El fotó, per exemple, tindria de parella un fermió anomenat fotino.  Trobar superpartícules és un dels objectius de l’accelerador del CERN, però fins ara no s’han trobat.

Parlem ara de l’altra teoria que rivalitza amb la teoria de cordes, la gravetat quàntica de bucles.  En aquesta teoria tant l’espai com el temps són granulars, no són continus i, per aquest motiu, les equacions que la governen no són equacions diferencials sinó equacions en diferències.  Pel que he llegit en un article recent a Physics Today aquesta teoria (que de moment és molt especulativa) aporta una solució al misteri de l’origen de l’univers i evita la singularitat inicial on les equacions d’ Einstein quan es retrocedeix fins a l’anomenat temps de Planck, és a dir a 10 elevat a -44 segons (o sigui, 0,0000....001 on hi ha 43 zeros) deixen d’ésser vàlides.

Per resoldre aquest problema de la singularitat inicial, amb valors infinits, alguns físics han postulat un univers en cicles: l’univers anterior al nostre s’estaria contraient fins arribar a un límit que no seria zero i rebotaria en el moment que s’ha anomenat Big Bang, però això porta problemes perquè d’alguna forma la entropia (una mesura del desordre), que creix d’acord amb la segona llei de la termodinàmica segons la fletxa del temps,  hauria de disminuir d’un univers a l’altre si hi ha una continuïtat en el temps. 

Doncs, segons la gravitació quàntica de bucles, les seves equacions s’estenen de forma única a instants “abans” del Big Bang i permeten predir un univers anterior al nostre, però en el pas d’un univers a l’altre l’espai –temps de 4 dimensions que ens va llegar Einstein seria un espai de 4 dimensions SENSE TEMPS.  El Big Bang estaria absent de temps.  Un univers superdens es queda sense temps. Endemés els dos universos no estan connectats causalment i  no tota la informació passaria d’un univers a l’altre, amb la qual cosa s’evita el problema de l’entropia.  Es important notar que aquestes característiques no han estat postulades sinó derivades de la teoria, que encara no ha estat testada experimentalment, si bé hi ha formes de testar-la, especialment amb la detecció d’ones gravitatòries.