Entrevista amb un extraterrestre

https://www.dropbox.com/home/Public/Entrevista%20amb%20Extraterrestre

Com que l'Institut d'Estudis Catalans ha digitalitzat la revista catalana "Ciència", de la qual vaig ser redactor en els anys 80, he recuperat aquesta entrevista-ficció que penso pot ser d'interès

La inducció matemàtica

Un procés demostratiu en matemàtiques és la inducció. Suposem que tenint una sèrie de proposicions P(n) de depenen d’un nombre n. Si comprovem que P(1) és vertadera i que de la veritat de la P(n) podem derivar la veritat de la P(n +1), aleshores P(n) és certa per a tot n.  Es com les fitxes de dominó posades en fila, si fem caure la primera i aquesta fa caure la següent, totes cauen.

 

Posem un exemple:   si volem demostrar la fórmula 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 farem això:

 1)      Per n=1 la fórmula diu 1= 1*2/2, la qual cosa és certa

 2)      Suposem que la fórmula és certa per a n i vegem si funciona per n +1. Per n+1 la fórmula diria:   1+2+3+...+n+(n+1) = (n+1)(n+2)/2. Per demostrar-ho usem la fórmula per a n:

 1+2+3+...+n+(n+1)=n(n+1)/2 +(n+1)=(n+1)(n/2 +1) (*)=(n+1)(n/2+2/2)=(n+1)(n+2)/2 i ja hem acabat la demostració.

(*) Traient factor comú (n+1) o aplicant la propietat distributiva.

Ara, però usarem el mètode d’inducció per a demostrar que totes les boles de billar són del mateix color.

La proposició és valida quan només tenim una bola. Suposem que tot grup de n boles de billar són del mateix color i ara agafem un grup de n+1 boles: B(1), B(2)....B(n),B(n+1).   Pel que suposem (i segons les regles del mètode d’inducció)  B(1),...,B(n) són de mateix color i òbviament per la mateixa suposició B(2),...,B(n+1), que és un grup de n boles també són del mateix color. Però està clar que con algunes boles coincideixen en els dos grups, els dos grups han de tenir el mateix color i per tant el grup de n+1 boles té el mateix color i, per tant, totes les boles de billar són del mateix color.

On s’ha produït l’error?

Llibre en versió digital

Recentment he publicat un llibre amb el contingut d'aquest bloc i altres notes divulgatives anteriors.

El podeu descarregar del dropbox:

https://www.dropbox.com/s/w7vg9z1mcyjs4q7/P%C3%ADndoles%20cient%C3%ADfiques%20alta%20resoluci%C3%B3.pdf?dl=0

Podria la vida haver aparegut quan l'univers només tenia 15 milions d'anys??

                                                         Abraham Loeb, astrofísic de Harvard

 

El Dr. Loeb s’ha especialitzat en la cosmologia que va des dels primers 400.000 anys de l’univers fins als 1.000 milions d’anys i ha llançat una idea totalment nova (és a dir, ens obra una nova finestra mental).  Fins ara creiem que vida demanava un cert nivell d’energia i que aquest només es podia donar al voltant d’estels en planetes situats en les òrbites adequades. Ell ha calculat que quan l’univers tenia uns 15 milions d’anys la radiació de fons de l’univers tenia la temperatura adequada perquè si hi haguessin ja planetes podria haver-hi  la química de la vida, sense la necessitat de que els planetes fossin escalfats per estels.

Us passo còpia d’un fragment de l’entrevista al NYT per a que veieu com funcionen els científics.  Loeb li diu a la seva dona el dia que té la idea a la dutxa i que tenen convidats: “Em perdones que no t’ajudi en la preparació del sopar i que en canvi desprès renti els plats?” D’aquesta forma té el temps per escriure l’article.

LAST YEAR YOU PUBLISHED AN ASTONISHING PAPER SUGGESTING THAT SOME TYPE OF LIFE MIGHT HAVE BEEN POSSIBLE IN THE EARLY UNIVERSE, BILLIONS OF YEARS BEFORE IT APPEARED ON EARTH. WHERE DID THIS COME FROM?

On Thanksgiving morning, I had this realization: that at the time the first stars and galaxies were formed, the cosmic microwave background — the radiation left over from the earliest time — was roughly at room temperature. So the universe, at roughly 15 million years after the Big Bang, was at a comfortable enough temperature for the chemistry of life to have incubated.

I realized this while in the shower — as often happens. We had guests coming in the afternoon. So I asked my wife if instead of helping her with the meal, I could take care of the dishes after dinner. That gave me a few free hours to think this out.

 

Els planetes

El nom, que significa estels errants, prové de que es mouen respecte al fons de les estrelles fixes. Els quatre primers són els planetes terrestres, Júpiter i Saturn són els gegants gasosos i Urà i Neptú són els gegants gelats. Plutó avui en dia no es considera planeta sinó planeta nan. Els primers sis planetes eren ja coneguts des de l’Antiguitat. Urà va ser descobert en el segle XVIII per observació i Neptú (en el segle XIX) observant la posició que s’havia predit matemàticament per la seva influència en Urà. Plutó va ser descobert en el segle XX seguint la pista d’un nou planeta X, l’existència del qual s’especulava a causa de les anomalies en l’òrbita d’Urà.

Mercuri

És el nom romà del missatger dels déus perquè era el déu més ràpid i el planeta és el que gira a més velocitat al voltant de Sol a causa de la seva proximitat. En alguns punts les temperatures van des de -175 º C a 425º C de la nit al dia.  El període de rotació és molt lent: 58,6 dies terrestres.  En certs llocs, un observador a Mercuri veuria el sol sortir avançar fins el punt més alt, retrocedir, pondre’s i tornar a sortir.  (Tot això seria molt lent pel baix ritme de rotació).

Venus

El nom romà prové de la deessa de l’amor i la bellesa. Venus és l’objecte més brillant de la nit desprès de la Lluna.  Com la Lluna (i Mercuri) té fases. És el planeta més proper a la Terra i el de grandària més similar. És, però, molt inhòspit: vents de 1.000 km/h, pressió atmosfèrica quasi 100 vegades més forta que la de la Terra, temperatura mitjana de 462 ºC, atmosfera de CO2 i pluges d’àcid sulfúric.

La Terra

El nom fa referència al sòl, a la terra seca. També fa referència a la deessa mare de Saturn. Es va formar fa uns 4.500 milions d’anys. Té, en proporció a la seva grandària, el satèl·lit més gran de tots els vuit planetes, la Lluna, que es creu formada per l’impacte d’un objecte d’una grandària similar a Mart, poc desprès de la formació de la Terra. Com a curiositat, el període de rotació de la Terra es va allargant per l’efecte de les marees principalment provocades per la Lluna i, al mateix temps la Lluna s’allunya (uns cms cada any). Fa 600 milions d’anys la duració del dia era de 21 hores en lloc de 24h. La Lluna contribueix a l’estabilitat de la inclinació de l’eix de rotació de la Terra i, per tant, a la del clima i, com a resultat, a fer possible la vida complexa. Com a curiositat: la nit a la Lluna dura  uns14 dies degut a que la rotació de la Lluna és d’uns 28 dies.

És l’únic planeta on s’ha descobert vida. La vida microbiana va aparèixer aviat quan les condicions ho van fer possible, desprès del període dels freqüents bombardeigs de meteorits, fa més de 3.500 milions d’anys.  Fa uns 2.500 milions d’anys els cianobacteris van usar l’energia del Sol per a produir oxigen (fotosíntesi) i, això, eventualment, va portar a l’aparició d’animals terrestres i l’home. Si un asteroide no hagués fet desaparèixer fa 65 milions d’anys els dinosaures potser no seríem aquí. La vida i, sobretot, la vida intel·ligent, és fruit de la necessitat (les lleis físico-químiques) i l’atzar.

En el segle XX hem començat l’exploració de l’espai i, recentment, l’exploració comercial.  Empreses com Space X ja han enviat naus per l’avituallament de l’estació espacial. Virgin Galaxy ja té desenes de passatgers en llista d’espera per a vols suborbitals.

Mart

En la mitologia romana era el déu de la guerra. Té dos petits satèl·lits no esfèrics, Fobos i Deimos. Té gel sec (CO2) en els pols. En la seva òrbita hi ha asteroides (troians). Es quasi segur que va tenir aigua en el passat i és possible que encara en tingui en el subsòl. En el futur probablement hi hauran colònies humanes a Mart. Un dels riscos contra els quals s’han de protegir els astronautes en el viatge a Mart és la radiació, sobretot si en el llarg viatge (uns set mesos) es produeixen tempestes solars. El dia que hi hagi una colònia a Mart no podrem conversar amb ells en temps real, ja que les transmissions tardaran uns tres minuts en arribar i tres més en tornar la resposta.

Júpiter

En la mitologia romana és el déu de cel, el més important. És tan gran que la seva massa és 2,5 vegades més gran que la de la resta de planetes. Es composa bàsicament de hidrogen i heli. Té un període de rotació de només 10 hores.En el 1610 Galileu va observar amb un telescopi rudimentari com els seus quatre satèl·lits principals es movien al seu voltant, la qual cosa va confirmar que la Terra no era el centre de l’univers. Aquests satèl·lits s’anomenen satèl·lits galileans i són: Io, Europa, Ganímedes (més gran que Mercuri) i Calisto. Té un total de 67 satèl·lits. A Europa s’ha detectat vapor d’aigua i es creu que pot tenir oceans subterranis on podria existir vida com en els llacs enterrats de l’Antàrtida.

Saturn

Era del déu de l’agricultura i pare de Júpiter. La seva massa és 95 vegades la de la Terra. Es, potser, el planeta més bonic gràcies als seus nou anells que consisteixen en gel, roques i pols.  Es creu que es composa de ferro, níquel, roca, hidrogen metàl·lic, hidrogen i heli líquids. A Saturn s’ha detectat vents de 1.800 km/h. En el seu satèl·lit més gran, Tità , s’han detectat rius de metà i aigua gelada. Saturn té 62 satèl·lits. Al seu satèl·lit Encèlad hi ha un oceà d’aigua en el subsòl in en el seu pol Sud hi han guèisers. Es un altre lloc del sistema solar on podria existir vida.

Urà

En la mitologia romana personifica el cel i és a la vegada marit i fill de Gaia (la Terra) que el va concebre sola (mitologia similar a la de la Verge Maria!). Urà era el pare de Saturn. L’atmosfera d’Urà és la més freda de tots els planetes (-224ºC) i es composa de hidrogen, heli, però també gel d’aigua, amoníac i metà. En el seu interior hi han roques i diversos tipus de gel. Encara que havia estat observat en diverses ocasions, inclús possiblement per Hiparc, 128 anys abans del naixement de Crist, el seu descobriment s’atribueix a William Herschel que el va observar en el 1781 i va veure que es movia respecte al fons d’estrelles fixes,  encara que, en un primer moment, va pensar que era un cometa. Herschel el volia anomenar con l’estel del rei Jordi III, però Bode va ser el que va escollir el nom d’Urà que va finalment prevaler.  La curiositat principal d’Urà és que té l’eix de rotació molt inclinat respecte a l’eclíptica (el pla de l’òrbita de la Terra al voltant del Sol). La inclinació és de 98º, de manera que prop del solsticis, un dels pols està enfocat al Sol i durant 42 anys té llum i l’altre es troba permanentment en la foscor durant 42 anys del total de 84 que dura l’òrbita del planeta al voltant del Sol.  Prop del solstici el cicle dia i nit només es produeix prop de l’equador, amb el Sol molt baix. Aquesta inclinació inusual podria ser a causa duna col·lisió amb un protoplaneta de la grandària de la Terra.  A Urà la intensitat de la llum solar és només 1/400 de la que tenim a la Terra. Urà té 27 satèl·lits.

Neptú

En la mitologia grega era germà de Júpiter i déu del mar. El seu descobriment va ser el resultat triomfal d’una predicció matemàtica de Le Verrier que va confirmar Galle en el 1846 observant el cel a 1º del lloc que havia predit Le Verrier qui, a la vegada, s’havia basat en pertorbacions en l’òrbita d’ Urà observades per Bouvard. Poc més tard es va descobrir el seu satèl·lit principal, Tritó.  A Neptú s’ha detectat els vents més forts del sistema solar de 2.100 km/h.  Neptú té 14 satèl·lits.

Plutó

En la mitologia romana era el déu del món dels morts i un dels germans de Júpiter. Avui dia no es considera un planeta sinó un objecte del cinturó de Kuiper i no és el més gran ja que Eris (descobert en el 2005) el supera en massa.  El nom li va posar una nena britànica d’onze anys, Venetia Burney. Té un volum petit equivalent a 1/3 del de la Lluna i la seva massa és només de 1/6 de la de la Lluna. Comparativament té un del seus satèl·lits que és força gran (la meitat de Plutó) i que es diu Caront, descobert en el 1978 i amb  el qual forma un sistema binari.  Plutó té cinc satèl·lits. Plutó va ser descobert en el 1930 per un jove astrònom de 23 anys, Clyde Tombaugh, a l’observatori Lowell, encara que ja s’havia observat en el 1909 en l’observatori Yerkes.

Té una òrbita inusualment inclinada respecte a la òrbita de la Terra i és molt el·líptica.  La posició de Plutó en la seva òrbita és caòtica i no es pot predir amb exactitud quina serà en 10 milions d’anys.

El Sol

En la mitologia romana és Helios, el pare de Circe, la deessa de la màgia.

Té un diàmetre 109 vegades més gran que la Terra i una massa 330.000 vegades més gran i un volum 1.300.000 vegades més gran. Concentra més del 99,9% de la massa de tot el sistema solar.  En el Sol a cada segon es fusionen 620 milions de tones d’hidrogen en heli, amb una pèrdua de massa de més de quatre milions de tones que es transformen en energia segons l’equació d’Einstein E=mc2.  Això equival a la desaparició de més de 4 milions de cotxes Seat Ibiza. Si el Sol desapareixes o esclatés ara, no ens en adonaríem fins al cap de 8 minuts que és el que tarda  la llum o qualsevol altre senyal que viatgi a aquesta velocitat màxima en recórrer els 150 milions de km que ens separem del Sol. La temperatura del Sol anirà pujant i d’aquí a menys de1.000 milions d’anys la Terra serà inhabitable.

Els estels són forns on es couen els àtoms. En el naixement de l’univers només es van formar el nuclis de l’hidrogen, heli i una petita part de liti. La resta de nuclis fins el ferro es formen en l’interior dels estels segons la seva grandària. Els elements més pesats que el ferro es formen quan estels de gran massa esclaten com a supernoves al final de les seves vides. Si porteu un anell d’or, porteu un record d’una supernova.

El cinturó de Kuiper

Situat més enllà de l’òrbita de Neptú. Va ser descobert va poc més de 20 anys. Els astròmoms hi han identificat uns 1.500 objectes des d’un diàmetre de metres a uns 2.000 km, però es sospita que en hi han milers de milions.

El núvol d’Oort

És un gran grup esfèric de cossos de gel d’aigua, metà i amoníac que es troba a una distància del Sol 50.000 vegades més gran que la Terra, és a dir a un quart de la distància entre el Sol i l’estrella més propera Proxima Centauri (la més propera de les tres d’Alfa Centauri). Està en la frontera del sistema solar. Es creu que d’allí surten els cometes que tenen períodes molt llargs i que ens venen en totes les direccions, al contrari que els cometes més propers que venen en òrbites en plans similars al de l’òrbita de la Terra.

Exoplanetes

Són els planetes que no pertanyen al sistema solar. El primer es va descobrir al voltant d’un estel de neutrons en el 1992. Avui en dia se’n coneixen més de 1800 gràcies, en bona part, al satèl·lit Kepler. S’ha calculat que en una distància de 16 anys-llum, és a dir en el nostre veïnatge còsmic, hi ha un 95% de probabilitat de que hi hagi almenys un planeta d’una grandària similar a la Terra i en una zona on l’aigua pugui estar en l’estat líquid, la qual cosa afavoriria l’aparició de vida. En els propers anys podrem obtenir indicacions de presència de vida amb nous telescopis tant espacials com terrestres que ens permetin analitzar les atmosferes d’aquest planetes. Per exemple, la detecció d’oxigen en l’atmosfera seria una indicació, ja que l’oxigen és molt reactiu i sense disposar de noves fons com són la fotosíntesi hauria de reaccionar amb els minerals. I més si també es detecta metà que reacciona fortament amb l’oxigen produint CO2 i aigua.

De totes maneres, cal dir que les distàncies interestel·lars són tan grans que viatjar a algun d’aquests planetes no és possible amb la tecnologia actual. Només per arribar als tres estels més propers a Alfa Centauri tardaríem 5 milions d’anys si voléssim amb un jet comercial.

Una nota sobre els estels de neutrons

La seva massa, posem per exemple, equivalent a dues masses solars està concentrada en una esfera de 20 km de diàmetre i la seva gravetat és tan gran que una caiguda d’una alçada de 90 cm ens faria estavellar-nos a la seva superfície a una velocitat de 1.600 km/s.

 

Imatge real d'un sistema extrasolar en formació

Imatge real  (no és un dibuix fet per un artista) d’un sistema planetari en formació al voltant d’un estel a 450 anys-llum de la Terra obtinguda amb el sistema de radiotelescopis Alma. Els 66 radiotelescopis situats al desert d’Atacama a Xile es poden combinar obtenint resolucions millors que les del telescopi espacial Hubble.

Per a que entengueu a quina distància està aquest estel que és de l’ordre de 100 vegades més gran que la distància als estels més propers al Sol, si hi poguéssim anar en un avió a reacció comercial tardaríem 600 milions d’anys en arribar-hi.

Una anècdota divertida d'un premi Nobel

El Nobel de física Brian Schmidt (Nobel en el 2011 pel descobriment de l’energia fosca, que està accelerant l’expansió de l’univers i constitueix el 70% de la massa-energia de l’univers) va anar a visitar la seva àvia que viu a Fargo, Dakota del Nord, i aquesta li va demanar que li portés la medalla que és d’or i pesa uns 225 grams.

Quan va passar l’equipatge pels raigs X al sortir de Fargo va veure que el personal de seguretat estaven sorpresos. L’or absorbeix els raigs X i, per tant, la imatge era totalment negra, cosa que no havien vist mai.

El diàleg va anar així:

-Senyor, hi ha una cosa a la seva bossa.

-Sí, suposo que és en aquesta capsa

-Què hi ha a la capsa?

-Una medalla gran d’or

Van obrir la capsa i li van preguntar:

-Qui li va donar?

-El rei de Suècia

-I per què li va donar?

-Perquè vaig ajudar a descobrir l’energia fosca, responsable de l’acceleració de l’expansió de l’univers

En aquest punt la cosa no els va fer cap gràcia i aleshores Schmidt va explicar que era la medalla del Premi Nobel i la seva pregunta va ser

-Què ha vingut vostè a fer a Fargo?

 

Fargo

Els països més innovadors

Recentment s’ha publicat el document “The Globalk Innovation Index 2014” redactat per l’escola de negocis INSEAD de París, per la Cornell University i per  la World Intellectual Property Organization. Aquest índex s’elabora a partir de diverses mètriques que no només mesuren la innovació que prové de l’esforç en recerca i desenvolupament sinó que també inclou les innovacions en model de negoci i les que s’obtenen integrant els nous productes tecnològics. Té en compte la infraestructura del país, les universitats, el nivell de formació de la força laboral, la sofisticació dels mercats i de les empreses, les institucions, la creativitat, patents, despeses en software, exportacions d’alta tecnologia, publicacions científiques, etc.  Es un document de més de 400 pàgines.

Aquí teniu la llista dels països més innovadors en els darrers 4 anys:

 

Observeu que hi ha molt poques variacions en el grup dels 10 millors, encara que dins de grup sí que hi ha moviments d’un any a l’altre.

Una llista més completa es troba en la següent taula, on veieu que Espanya ocupa el lloc 27 per darrera de la República Xeca i Malta

 

 

 

 

Els nombres normals o està la cultura humana predeterminada pel nombre pi?

 

Els nombres normals són aquells irracionals que tenen una expressió decimal infinita en la que totes les xifres apareixen amb la mateixa freqüència. Com que els nombres es poden escriure en diferents bases (base 2 o base 10, per exemple), direm que un nombre és absolutament normal quan ho és en totes les bases.  En la definició hem d’incloure no solament les xifres sinó els grups de xifres. Per exemple si un nombre és normal en base 10 hem d’esperar que totes les xifres de la 0 a la 9 apareguin (quan se’n examinen moltes) amb una freqüència de 1/10 i tots els grups de dos xifres de 00 a 99 amb una freqüència de 1/100. Etc.  Com exemple de nombre decimal normal en base 10: 0,1234567891011121314151617181920…

Es produeix un fenomen curiós del qual ja ens va parlar Kac en el 1959: “Sovint és més fàcil demostrar que un gran nombre d’objectes tenen una determinada propietat que exhibir-ne un de concret que la tingui.”

Émile Borel va demostrar el 1909 que quasi tots els reals són (absolutament) normals. Tècnicament el que va demostrar és que el conjunt de reals no normals té mesura de Lebesgue zero.  Això voldria dir que si els poséssim tots junts la longitud del segment que ocuparien seria zero. Malgrat això el conjunt dels nombres no normals no és numerable. Per exemple, el conjunt dels nombres entre 0 i 1 que no tenen la xifra 5 en la seva expressió decimal no és numerable i tots són no normals.

De fet, però, (recordem Kac) és molt difícil demostrar que un  nombre és absolutament normal. Se sospita que π (pi) ho és i s’ha vist que les seves xifres, fins on s’han calculat, segueixen aquesta regla de freqüències, com si haguessin estat generades aleatòriament. Les constants de Chaitin, de les quals ara no en parlarem, són normals però és tracta d’uns nombres, encara que ben definits, que no són computables: cap programa d’ordinador pot anar generant les seves xifres. El 2002 Becher va construir un nombre normal computable, però la construcció no donava les seves xifres.

Cenyim-nos ara a la base dos, on les úniques xifres són zeros i uns.  Imaginem una successió qualsevol de zeros i uns que tingui mil termes. Hi ha 2 (exponent 1000) successions així i, per tant, si el nombre és normal la freqüència amb la que apareixerà aquesta successió serà 1/ 2(exponent 1000), un nombre molt petit, però com que estem parlant d’infinites xifres, aquesta seqüència ha d’acabar apareixent amb probabilitat 1. I ara ve la sorpresa. Estem a la època digital i, per tant, no ens és estrany que qualsevol cosa de la nostra vida diària es pot digitalitzar. Per exemple, Hamlet. Per tant, arribem a la conclusió que si π és normal, en la seva expressió decimal en base binària tenim codificat Hamlet (amb probabilitat 1). I no solament en versió anglesa, sinó en la catalana, la xina, etc. I tots els teoremes de les matemàtiques, que no són altra cosa que una successió de símbols i que també es poden codificar, estan, amb probabilitat 1 en la successió de π, (o de qualsevol nombre normal i ja sabem que quasi tots el nombres reals són normals). Però no solament els teoremes coneguts sinó els que ens queden per descobrir, les obres de literatura que ens queden per escriure, els quadres que s’han pintat o ens queden per pintar, etc.

No és sorprenent? Si  π és normal,  la probabilitat de que tot el saber i la cultura humana estiguin codificats en la seva successió de xifres és 1.

El que acabem de dir està relacionat amb el teorema del mico infinit.  Un mico teclejant a l’atzar en una màquina d’escriure acabarà escrivint Hamlet. El mico no és més que una metàfora. Es tracta de veure si fent que la màquina teclegi totalment a l’atzar aquesta acabarà escrivint alguna cosa important. Examinem-ho. Imaginem que la màquina té 50 tecles i mirem la probabilitat de que teclegi una determinada paraula de 6 lletres com “nombre”.

                                 Amb suficient temps un mico, escrivint a l’atzar, acabarà escrivint Hamlet

 

La probabilitat de que les primeres 6 lletres teclejades sigui “nombre” és:

 

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)⁶ = 1/15 625 000 000, 

un nombre molt petit, però no és zero.

Per tant, la probabilitat de no teclejar nombre en un determinat grup de 6 lletres es 1 − (1/50)⁶. Com que els grups es teclegen independentment, la probabilitat X_n de no teclejar nombre  en qualsevol dels primers n grups of 6 lletres és:

Quan n creix, X_n esdevé més i més petit. Per a n igual a 1.000.000, X_n és aproximadament 0.9999, però per a n = 10.000.000.000 X_n és aproximadament 0.53 i per a n = 100.000.000.000 és 0,0017. Quan n s’aproxima infinit, la probabilitat  X_n s’acosta a zero i, per tant, és pràcticament segur que la màquina d’escriure teclejarà “nombre”.

El que hem dit val per qualsevol text, per llarg que sigui. Ara bé, com que el text de Hamlet té unes 130.000 lletres, ignorant les puntuacions, espais i majúscules hem de teclejar les 26 lletres de l’alfabet anglès. La probabilitat d’ encertar-lo a la primera és de una en  3.4 × 10^183,946 

La mitjana de lletres que hem d’escriure abans de que aparegui el text amb puntuació és 4.4 × 10^360,783

Per dir-ho d’una altra manera, per a tenir una probabilitat de una en un bilió d’èxit, hauríem d’emplear tants micos com àtoms té l’univers en  10^360,641 universos com el nostre. Al final resulta que la cultura humana no és tan fruit de l’atzar com semblava.

 

El poder econòmic de les nacions

Una forma de mesurar el poder econòmic de les nacions es veure quantes de les 500 empreses més importants segons la llista Fortune pertanyen a cada país.

La llista l’encapçala els EUA amb 128 companyies i més de 8,5 bilions  (amb 12 zeros) de dòlars de facturació, però sabeu quin és el país que ocupa el número 2 de la llista?  La Xina en té 95! No és sorprenent com ha emergit la Xina comunista en el capitalisme global? La facturació total d’aquestes 95 empreses supera els 5,8 bilions de dòlars.

El tercer de la llista és Japó amb 57 i un total de més de 3 bilions d’USD de facturació.

El quart de la llista no és Alemanya sinó França (el malalt d’ Europa!) amb 31.   A continuació Alemanya amb 28 i el Regne Unit amb 27.  Espanya amb 8 ocuparia el lloc 12 empatada amb Austràlia, Índia i Rússia i per darrere de Corea del Sud, Suïssa, Holanda, Canadà i Itàlia.

La Unió Europea, si suméssim els seus països es posaria a l’alçada dels EUA amb 125 empreses i un total de més de 8,3 bilions de dòlars de facturació.

La primera empresa en xifra de negoci és Wal-Mart amb més de 476.000  milions de dòlars i 2,2 milions de treballadors. També en el número d’empleats és la primera. La segona és Shell amb 460.000 milions de dòlars.

La empresa que ha guanyat més diners ha estat Vodafone amb 94.000 milions de dòlars! Curiosament superior a la seva xifra de negoci de 66.000 milions, a causa dels ingressos per venda d’una part de la seva activitat.

I sabeu quines han estat les números 2 i 3 en beneficis? Les famoses Fannie Mae i Freddie Mac, empreses relacionades amb els préstecs hipotecaris, patrocinades pel govern americà i intervingudes durant la gran recessió del 2008. Conjuntament guanyen 132.000 milions de dòlars!  Apple és la 5ª amb 37.000 milions de dòlars de benefici.

Les que perden més diners: la italiana Unicredit Group ( més de 18.000 milions de dòlars), Royal Bank of Scotland ( més de 13.000) i la mexicana Pemex (més de 13.000).

 

 

La bellesa i l’atractiu de les matemàtiques

El plaer de fer matemàtiques està relacionat amb la paraula elegància. Quan entens un raonament i expresses el resultat en una fórmula o una frase que engloba una idea profunda, llarga i bonica: això és el que vull dir quan parlo d’elegància. I crec que una bona part del plaer que se sent fent matemàtiques té a veure amb això.

Matteo Longo, Universitat de Pàdua

Per a mi fer matemàtiques és força depriment. Gairebé sempre estic descontent per la falta de progressos. Al mateix temps és extremadament gratificant: els pocs moments en què passo de la foscor total a la comprensió més absoluta són els més feliços de la meva vida, i els recordo tots vívidament.

Misha Sodin, Universitat de Tel Aviv

(Del llibre “Ments abstractes” )

Per il·lustrar la bellesa i l’atractiu de les matemàtiques he escollit un fet cabdal en la història de la cultura, quan els pitagòrics van descobrir la incommensurabilitat de la diagonal del quadrat. Els matemàtics grecs de l’antiguitat sempre havien pensat que, donats dos segments, es podia trobar una mesura comú (un segment més petit) amb la qual cada un dels segments tindria una longitud entera usant aquesta mesura com unitat.

Un membre de l’escola pitagòrica, sembla que es deia Hippasus de Metapontum, usant el teorema de Pitàgores, va veure que la diagonal del quadrat de llargària 1 era un nombre equivalent al que avui anomenaríem arrel quadrada de dos i va demostrar que aquest nombre no podia ésser mesurat de manera exacta amb cap unitat que també ho fes amb el costat del quadrat.  Això, avui en dia, ho expressem dient que l’arrel quadrada de dos és irracional. El tema va causar tal trastorn que la llegenda afirma que els pitagòrics vam portar Hippasus a alta mar i el van ofegar, per a mantenir el secret.

Això ens va portar als nombres reals que han possibilitat la part de les matemàtiques anomenada anàlisi i totes les seves grans aplicacions a la ciència i, en particular, la física (càlcul diferencial i integral), però al mateix temps han introduït proposicions indemostrables com la hipòtesi del continu.  Com ja vam explicar al bloc del 18.5.13 hi ha molts més nombres transcendents que algebraics, encara que coneixem molts pocs nombres transcendents com són els famosos “pi” i “e”. Això vol dir que el conjunt dels nombres reals és un gran misteri.

Ara us voldria mostrar la elegància de la demostració de que arrel quadrada de 2 no és racional.

                                                            Dibuix fet per Sebastià Xambó

Per demostrar aquesta proposició ho farem per contradicció. Suposem que existeix una fracció p/q tal que el seu quadrat és 2, és a dir 2q^2=p^2   suposarem que aquesta fracció ja ha estat simplificada al màxim, és a dir p i q són els mínims possibles que compleixen aquesta condició.

Dibuixem un quadrat de costat p i, en vèrtexs oposats, inserim quadrats de costat q, un marcat en vermell i un altre marcat en blau.  El que estem dient és que la suma de les àrees dels quadrats vermell i blau és igual a l’àrea del quadrat gran. I per la manera com hem escollit p i q no poden haver-hi altres quadrats de costats enters més petits en que això passi.  Però, com que els dos quadrats se sobreposen en el mig i deixem lliure l’àrea dels altres dos quadrats petits situats en els altres dos vèrtexs oposats, el que resulta és que la suma de les àrees d’aquests quadrats més petis de costat p – q és igual a l’àrea del quadrat del mig de costat 2q – p.  Aquests quadrats de costats enters són més petits que els de costat p i q i això és una contradicció. Per tant, p i q complint la condició 2q^2=p^2 no poden existir i arrel de dos és irracional.

A petita escala haureu vist l’elegància de la qual us parla Matteo Longo i haureu experimentat la gratificació de la que parla Misha Sodin.

Aquest és l’atractiu i la bellesa de les matemàtiques. Raonament pur, veritats fora de l’espai i el temps, immutables i eternes. Pre-existents a l’aparició de l’home i fins i tot a la creació de l’univers. La ment humana només hi accedeix, almenys és això el que diuen els matemàtics que es consideren platònics.

 

 

El problema de Monty Hall o allò on falla el raonament d'alguns gransmatemàtics

Aquest problema es va fer famós arran d’un show televisiu anomenat Let’s Make a Deal el presentador del qual era Monty Hall.

En el programa hi havien tres portes i darrera d’una d’elles hi havia un cotxe i darrera de les altres dues hi havia una cabra. El concursant havia d’escollir una porta amb l’objectiu d’obtenir el cotxe.  Una vegada ho havia fet, Monty obria una de les altres dues portes on sabia que hi havia una cabra i li donava la oportunitat de canviar la porta que havia escollit per l’altra que estava tancada.

La pregunta és: ho havia de fer? En una primera reacció podríem raonar que ara queden dues portes, en una hi ha un cotxe i en una altra hi ha una cabra. Per tant, les probabilitats de que el cotxe estigui en una o una altra porta estan al 50%. La conclusió seria que canviar o no és indiferent. Si heu comprat aquest argument no esteu sols. Fins i tot, Paul Erdös, un dels més prolífics i famosos matemàtics del segle XX, estava convençut de que això era el correcte. Però és fals. Si canvieu teniu el doble de probabilitats de guanyar el cotxe!  Això ho va raonar Marilyn Vos Savant en la seva columna setmanal  Ask Marilyn a la revista Parade , la qual va ser molt criticada per catedràtics de estadística! Paul Erdös va dir que no s’ho creuria fins que es demostrés en una simulació. La simulació la podeu trobar, per exemple, a:

http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm 

Podeu posar 100 casos o 1.000 canviant o no canviant i veureu els resultats.

Marilyn Vos Savant va ostentar el récord Guiness de la persona amb més alt coeficient intel·lectual: 228.

Una manera de creure´s l’afirmació de Savant és exagerar el problema. Suposem que tenim un milió de portes i que el presentador les va obrint totes excepte una i la que hem escollit. La probabilitat de que nosaltres l’haguem encertat amb la porta que hem escollit al principi és de una entre un milió i la probabilitat de que la porta del cotxe estigui entre les restants és de 999.999 entre un milió, però,  com que ara només queda una porta per obrir d’aquestes 999.999, és clar que hem de canviar.

De fet, ara podem repetir l’argument en el cas de 3 portes. La probabilitat de que el concursant encerti la porta és 1/3. Hi ha una probabilitat de dos terços de que el cotxe estigui en les altres dues portes. Al obrir-ne una que té una cabra, la porta restant concentra els dos terços de probabilitat i així, si el concursant canvia té el doble de probabilitat de guanyar el cotxe.

La solució presentada per Vos Savant mostra les tres possibles situacions del cotxe i les dues cabres i el resultat de quedar-se amb la porta escollida o de canviar desprès d’haver escollit inicialment la porta 1.

Darrera porta 1	Darrera        porta 2	Darrera porta 3	Si es queda a la porta 1	Si canvia a la porta oferta
Cotxe	Cabra	Cabra	Coche	Cabra
Cabra	Cotxe	Cabra	Cabra	Cotxe
Cabra	Cabra	Cotxe	Cabra	Cotxe

 

 

 

 

 

Tres forats supermassius deformen l'espai-temps

Dolls helicoïdals d’un forat negre supermassiu són causats per un altre company proper (vegeu els punts blaus). El tercer forat negre és part del sistema, però és més lluny i, per tant, emet dolls en línia recta.

Recentment s’han descobert tres forats negres supermassius que formen part d’un sistema lligat per la gravetat en una galàxia situada a 4.000 milions d’anys-llum. Aquesta tríada de forats negres és la més compacte coneguda fins ara i és remarcable perquè, normalment, una galàxia només té un forat negre supermassiu en el seu centre.

La observació s’ha fet mitjançant un equip internacional usant la tècnica de la interferometria anomenada VLBI (Very Long Baseline Interferometry) amb diverses freqüències, la qual cosa ha fet possible distingir els dos forats negres més propers separats tan sols per una distància de 500 anys-llum. Amb aquesta tècnica que usa radiotelescopis separats fins a 10.000 kms en quatre continents s’obtenen imatges amb una resolució 50 vegades més gran que amb el telescopi Hubble.

Els dos forats negres supermassius s’orbiten mutúament a una velocitat 300 vegades més alta que la del so a la Terra. S’espera que el futur conjunt de radiotelescopis SKA (Square Kilometer Array) pugui detector ones gravitacionals, predites per Einstein, en sistemes com aquest.

Està el futur de l’energia nuclear en el tori?

El tori és l’element 90 de la taula periòdica. Recordem que el urani és el 92. Es radioactiu amb una vida mitjana de 14.050 milions d’anys. El tori va ser descobert per un sacerdot i mineralogista noruec Morten Thrane Esmark l’any 1828.

El tori és un element molt abundant, 4 vegades més que el urani, i  els països que tenen les principals reserves conegudes, les quals es poden obtenir a un cost màxim de 80 dòlars per kg i totalitzen 4,4 milions de tones són:

Índia, Austràlia, EUA, Venezuela, Brasil, Turquia, Noruega, Egipte, Rússia i Canadà.

Cal tenir present que una tona de tori pot produir la mateixa energia que 3.500.000 tones de carbó o 200 tones d’urani i que el cost d’obtenir un kg d’urani és més de 110 dòlars. Amb el tori que hi ha al territori dels EUA es podrien satisfer les necessitats energètiques actuals de país durant mil anys.

Per tant, els reactors de tori són una alternativa seriosa als d’urani/plutoni. Endemés els reactors de tori són molt més segurs que els actuals, ja que els nuclis no es poden fusionar i les deixalles radioactives  són molt menys abundants i tenen vides mitjanes de pocs centenars d’anys en comparació amb els més de 10.000 anys de les deixalles dels reactors d’urani/plutoni.

Si hi ha aquests avantatges, com és la que energia nuclear ha estat basada en l’urani/plutoni si ja en el 1968 les EUA havien desenvolupat amb èxit un reactor de tori i, segons sembla, els EUA haguessin sigut energèticament independents a l’any 2.000 si s’hagués continuat per aquest camí?

Sembla que la principal raó va ser que els reactors d’urani tenien com  a subproducte material que es podia usar per la fabricació de bombes.

Actualment, l’interès per a desenvolupar un reactor de tori s’ha revifat i molts països hi estan investigant, entre ells Índia n’és un dels capdavanters. El govern d’aquest país hi està apostant fortament i té programat construir-ne 62 fins any 2025.

Segons sembla una empresa americana ha obtingut en el mes de febrer d’aquest any una patent per a construir reactors de tori i la qual, de fet, es podria aplicar als reactors actuals augmentant la seva eficiència en un 17%.  Bill Gates també té una empresa que està estudiant aquesta tecnologia.