El nombres transcendents

 

Els matemàtics s’han vist obligats a anar ampliant el concepte de nombre. Els grecs només concebien els nombres naturals i les fraccions, però aleshores els pitagòrics es van adonar que la diagonal d’un quadrat d’un costat igual a la unitat no era un nombre racional (una fracció) sinó que era el que ara anomenem irracional.  Si dividim dos nombres naturals, com que el residu de la divisió sempre ha de ser menor que el divisor,  o bé la divisió es para perquè al anar obtenint decimals arriba un moment que la divisió és zero o bé els residus es van repetint i obtenim una expressió decimal periòdica. Si dividim, per exemple, 23 per 25 dóna 0,92. Si dividim 13 per 7 obtenim la successió de residus (al baixar zeros per a obtenir més decimals) 6,4,5,1,3,2 i aleshores tornem al 6 i obtenim una expressió decimal periòdica: 1,857142857142…Però l’expressió decimal de l’arrel de 2 (la diagonal del quadrat de costat unitari) és una expressió decimal que no es repeteix i no acaba mai.

Més endavant el món occidental va acceptar els nombres negatius en el segle XVII quan es va introduir la comptabilitat i una empresa podia tenir més deutes que actius. Els nombres imaginaris també van ser acceptats al principi com a mode d’operar en la fórmula de la solució de l’equació de tercer grau quan, en alguns casos,  la solució era un nombre real que per calcular-lo, en els passos intermedis, calia operar amb nombres imaginaris.  Els matemàtics volen fugir de les excepcions i és més convenient que es puguin calcular les arrels quadrades de tots els nombres i les solucions de qualsevol equació polinòmica i en hi ha una de ben senzilla x2 + 1=0 que no tindria solució si no inventéssim el nombre “i”.

Si ara ens limitem als nombres reals, dins d’aquest conjunt tenim els racionals (tots els enters positius i negatius i totes les fraccions) i la resta que són els irracionals. Dins d’aquests hi ha dues categories: 1) els nombres algebraics que són solucions reals d’equacions polinòmiques amb coeficients enters com la raó àuria (1,618...) solució de x2-x-1=0   2) La resta, nombres que s’anomenen transcendents. Els més coneguts són e= 2,71828... i pi = 3,14159... Hermite va demostrar en el 1873 la transcendència de “e” i Lindemann la de pi en el 1882. De fet es coneixen molt pocs nombres transcendents encara que existeixen molts més reals transcendents que algebraics ja que el conjunt de nombres algebraics és numerable, és a dir, es pot posar en correspondència biunívoca amb els nombres naturals i, en canvi, el conjunt dels nombres transcendents no.  e elevat a pi també és transcendent i 2 elevat a arrel quadrada de 2 també.

El nombre e apareix de forma natural en molts processos, per exemple en la radioactivitat on la quantitat d’una substància radioactiva decreix de forma proporcional a la quantitat de la substància.  En la solució de la senzilla equació diferencial dx/dt=kx intervé el nombre e.

El nombre pi és més conegut com la raó entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. Hi ha una coneguda fórmula establerta per Euler que lliga els cinc nombre més famosos de la matemàtica:  

 

Per cert, avui es coneix l’expressió decimal de pi amb més de 10 bilions de decimals.  Això serveix per a provar nous i potents ordinadors i també ve motivat per la mania humana de superació de marques.  Ara bé, amb 39 decimals podríem calcular la circumferència de l’univers visible amb un error inferior al radi d’un àtom d’hidrogen (suposant que coneguéssim el radi de l'univers visible amb absoluta precisió), segons Paul Hoffman, l’autor del llibre biogràfic (The Man Who Loved Only Numbers) sobre el famós matemàtic hongarès Paul Erdös.