La inducció matemàtica

Un procés demostratiu en matemàtiques és la inducció. Suposem que tenint una sèrie de proposicions P(n) de depenen d’un nombre n. Si comprovem que P(1) és vertadera i que de la veritat de la P(n) podem derivar la veritat de la P(n +1), aleshores P(n) és certa per a tot n.  Es com les fitxes de dominó posades en fila, si fem caure la primera i aquesta fa caure la següent, totes cauen.

 

Posem un exemple:   si volem demostrar la fórmula 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 farem això:

 1)      Per n=1 la fórmula diu 1= 1*2/2, la qual cosa és certa

 2)      Suposem que la fórmula és certa per a n i vegem si funciona per n +1. Per n+1 la fórmula diria:   1+2+3+...+n+(n+1) = (n+1)(n+2)/2. Per demostrar-ho usem la fórmula per a n:

 1+2+3+...+n+(n+1)=n(n+1)/2 +(n+1)=(n+1)(n/2 +1) (*)=(n+1)(n/2+2/2)=(n+1)(n+2)/2 i ja hem acabat la demostració.

(*) Traient factor comú (n+1) o aplicant la propietat distributiva.

Ara, però usarem el mètode d’inducció per a demostrar que totes les boles de billar són del mateix color.

La proposició és valida quan només tenim una bola. Suposem que tot grup de n boles de billar són del mateix color i ara agafem un grup de n+1 boles: B(1), B(2)....B(n),B(n+1).   Pel que suposem (i segons les regles del mètode d’inducció)  B(1),...,B(n) són de mateix color i òbviament per la mateixa suposició B(2),...,B(n+1), que és un grup de n boles també són del mateix color. Però està clar que con algunes boles coincideixen en els dos grups, els dos grups han de tenir el mateix color i per tant el grup de n+1 boles té el mateix color i, per tant, totes les boles de billar són del mateix color.

On s’ha produït l’error?