L’infinit ens
permet fer coses que semblen impossibles. Imagineu un hotel, l’anomenarem
Hotel de Hilbert que té infinites habitacions, totes plenes i arriba un nou
client. Què pot fer el gerent de l’hotel per donar-li una habitació? Molt
fàcil, només cal que mogui cada client a la següent habitació: el de la 1 a la
2, el de la 2 a la 3, etc. Així l’habitació número 1 queda lliure i pot
acomodar-hi el nou client. Ara imagineu que arriba un autobús amb infinits
clients. Què farem? Molt fàcil, posem cada client a l’habitació número doble de
la que té: el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, ...
Així queden lliures les habitacions senars on poden acomodar els infinits
clients que han arribat en l’autobús. Ara imaginem que arriben infinitat
d’autobusos amb infinits clients. Per sort, el gerent de l’hotel, que es
diu Hilbert, és un famós matemàtic i idea el següent esquema. Primer buida
totes les habitacions senars enviant cada client a l’habitació que té el número
doble. Desprès enumera els autobusos amb la successió de nombres primers
(començant pel 3) que és una successió infinita. Aleshores envia els passatgers
del primer autobús a les habitacions potències de 3: 3, 9, 27, 81, etc... Els
passatgers del segon autobús els envia a les habitacions potències de 5: 5, 25,
125, 625, etc... i així successivament. Fixeu-vos que endemés queden
habitacions buides, les senars que es descomponen en factors primers diferents
com la 15.
Si ara l’hotel
està a la costa i arriben infinits portaavions amb infinits autobusos amb
infinits passatgers? Cap problema, podem adoptar el darrer truc dels
nombres primers sense gaire dificultat. Es a dir 3 nivells d’infinit no
representen cap dificultat, ni ho serien un nombre finit de nivells, un milió,
per exemple.
Que passaria si
tinguéssim un infinit nivell d’infinits? Podríem aleshores distingir cada
potencial client amb una llista infinita de nombre naturals: 3,4, 25, 7, etc...
Aquest seria el tercer passatger del 4 autobús del portaavions 25, de la setena
flota, etc... Imagineu que heu posat cada client en una habitació de l’hotel i
veurem que això no és possible. Sempre queda algun fora. Suposem que la
col·locació és la següent:
Habitació
1: 3,4,25,7,...
Habitació 2:
2,7,1.001, 28,...
Habitació 3: 103,
27, 14, 998, ...
Etc.
Ara definim un
client que es queda fora: Canviem el primer nombre de la primera habitació, el
segon de la segona, el tercer de la tercera, etc.: 2,5,24,...
Es evident que
aquest client no pot estar a la primera habitació perquè difereix en el primer
nombre, tampoc a la segona perquè difereix del segon nombre, etc... Aquest
client no pot estar a la llista i si l’afegim fent, per exemple, el primer truc
que hem fet abans podrem repetir l’argument i apareixerà un nou client que es
queda fora.
Aquest argument,
anomenat argument diagonal va ser usat per Cantor per a demostrar que el
conjunt dels nombres reals (els que tenen finites o infinites expressions
decimals com 0,75 o arrel de 2) constituïen un infinit més potent que el dels
nombre naturals. Cantor es va preguntar si podien haver-hi conjunts
entremigs, més “grans” que els naturals i més “petits” que els reals. Aquí més
gran vol dir que els elements d’un conjunt no es poden posar en correspondència
biunívoca amb els elements de l’altre. Així els nombres naturals i els parells
són “iguals” perquè hi ha una correspondència biunívoca entre ells: a cada
natural, el seu doble. Això es va anomenar la hipòtesi del continu (els
reals es representen amb una recta continua): no hi ha conjunts entremig dels
naturals i els reals en el sentit ja descrit.
Aquest va ser el
primer problema de la famosa llista que Hilbert va anunciar com a reptes del
segle XX en el congrés de matemàtiques de l’any 1900. Doncs bé, en el
1940 Gödel va demostrar que la hipòtesi del continu era compatible amb els
axiomes habituals de la teoria de conjunts anomenats axiomes ZFC
(Zermelo-Fraenkel-Choice). Però, sorpresa, Paul Cohen, en el 1963 va
demostrar que la negació de la hipòtesi del continu també era compatible amb
l’axiomàtica ZFC. Es a dir la HC era indecidible en la axiomàtica
habitual. Recordeu, els que heu seguit aquestes Newsletters des del
principi, que el teorema de Gödel diu que tot sistema d’axiomes
suficientment potent , si és consistent, és incomplet: sempre hi hauran
proposicions que ni elles ni les seves negacions podran ser provades dins del
sistema axiomàtic.
Els diferents
infinits s’anomenen cardinals i sempre em poden fer un de més gran. Agafant el
conjunt de subconjunts d’un conjunt infinit obtenim un conjunt infinit
estrictament més gran. Per exemple, el conjunt dels subconjunts dels nombres
naturals és equivalent als nombres reals. Utilitzant l’axioma de l’elecció
(Choice en anglès) podem ordenar els cardinals infinits. El primer, el dels
nombre naturals s’anomena “ Alef 0”, el segon “Alef 1”, etc... Com queda la
hipòtesi del continu? Es sospita que amb una extensió adequada dels axiomes es
podria arribar a demostrar que els reals tenen un cardinal “Alef 2”, però, de
moment, es tracta d’un problema obert.
Georg Cantor que va demostrar que existeixen diverses classes d'infinits
Seguiu aquest enllaç per una il·lustració de l’hotel de Hilbert:
http://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada