La bellesa i l’atractiu de les matemàtiques

El plaer de fer matemàtiques està relacionat amb la paraula elegància. Quan entens un raonament i expresses el resultat en una fórmula o una frase que engloba una idea profunda, llarga i bonica: això és el que vull dir quan parlo d’elegància. I crec que una bona part del plaer que se sent fent matemàtiques té a veure amb això.

Matteo Longo, Universitat de Pàdua

Per a mi fer matemàtiques és força depriment. Gairebé sempre estic descontent per la falta de progressos. Al mateix temps és extremadament gratificant: els pocs moments en què passo de la foscor total a la comprensió més absoluta són els més feliços de la meva vida, i els recordo tots vívidament.

Misha Sodin, Universitat de Tel Aviv

(Del llibre “Ments abstractes” )

Per il·lustrar la bellesa i l’atractiu de les matemàtiques he escollit un fet cabdal en la història de la cultura, quan els pitagòrics van descobrir la incommensurabilitat de la diagonal del quadrat. Els matemàtics grecs de l’antiguitat sempre havien pensat que, donats dos segments, es podia trobar una mesura comú (un segment més petit) amb la qual cada un dels segments tindria una longitud entera usant aquesta mesura com unitat.

Un membre de l’escola pitagòrica, sembla que es deia Hippasus de Metapontum, usant el teorema de Pitàgores, va veure que la diagonal del quadrat de llargària 1 era un nombre equivalent al que avui anomenaríem arrel quadrada de dos i va demostrar que aquest nombre no podia ésser mesurat de manera exacta amb cap unitat que també ho fes amb el costat del quadrat.  Això, avui en dia, ho expressem dient que l’arrel quadrada de dos és irracional. El tema va causar tal trastorn que la llegenda afirma que els pitagòrics vam portar Hippasus a alta mar i el van ofegar, per a mantenir el secret.

Això ens va portar als nombres reals que han possibilitat la part de les matemàtiques anomenada anàlisi i totes les seves grans aplicacions a la ciència i, en particular, la física (càlcul diferencial i integral), però al mateix temps han introduït proposicions indemostrables com la hipòtesi del continu.  Com ja vam explicar al bloc del 18.5.13 hi ha molts més nombres transcendents que algebraics, encara que coneixem molts pocs nombres transcendents com són els famosos “pi” i “e”. Això vol dir que el conjunt dels nombres reals és un gran misteri.

Ara us voldria mostrar la elegància de la demostració de que arrel quadrada de 2 no és racional.

                                                            Dibuix fet per Sebastià Xambó

Per demostrar aquesta proposició ho farem per contradicció. Suposem que existeix una fracció p/q tal que el seu quadrat és 2, és a dir 2q^2=p^2   suposarem que aquesta fracció ja ha estat simplificada al màxim, és a dir p i q són els mínims possibles que compleixen aquesta condició.

Dibuixem un quadrat de costat p i, en vèrtexs oposats, inserim quadrats de costat q, un marcat en vermell i un altre marcat en blau.  El que estem dient és que la suma de les àrees dels quadrats vermell i blau és igual a l’àrea del quadrat gran. I per la manera com hem escollit p i q no poden haver-hi altres quadrats de costats enters més petits en que això passi.  Però, com que els dos quadrats se sobreposen en el mig i deixem lliure l’àrea dels altres dos quadrats petits situats en els altres dos vèrtexs oposats, el que resulta és que la suma de les àrees d’aquests quadrats més petis de costat p – q és igual a l’àrea del quadrat del mig de costat 2q – p.  Aquests quadrats de costats enters són més petits que els de costat p i q i això és una contradicció. Per tant, p i q complint la condició 2q^2=p^2 no poden existir i arrel de dos és irracional.

A petita escala haureu vist l’elegància de la qual us parla Matteo Longo i haureu experimentat la gratificació de la que parla Misha Sodin.

Aquest és l’atractiu i la bellesa de les matemàtiques. Raonament pur, veritats fora de l’espai i el temps, immutables i eternes. Pre-existents a l’aparició de l’home i fins i tot a la creació de l’univers. La ment humana només hi accedeix, almenys és això el que diuen els matemàtics que es consideren platònics.