Aquest problema es va fer famós arran d’un show televisiu anomenat Let’s Make a Deal el presentador del qual era Monty Hall.
En el programa hi havien tres portes i darrera d’una d’elles
hi havia un cotxe i darrera de les altres dues hi havia una cabra. El
concursant havia d’escollir una porta amb l’objectiu d’obtenir el cotxe. Una vegada ho havia fet, Monty obria una de
les altres dues portes on sabia que hi havia una cabra i li donava la
oportunitat de canviar la porta que havia escollit per l’altra que estava
tancada.
La pregunta és: ho havia de fer? En una primera reacció podríem
raonar que ara queden dues portes, en una hi ha un cotxe i en una altra hi ha
una cabra. Per tant, les probabilitats de que el cotxe estigui en una o una
altra porta estan al 50%. La conclusió seria que canviar o no és indiferent. Si
heu comprat aquest argument no esteu sols. Fins i tot, Paul Erdös, un dels més
prolífics i famosos matemàtics del segle XX, estava convençut de que això era
el correcte. Però és fals. Si canvieu teniu el doble de probabilitats de
guanyar el cotxe! Això ho va raonar Marilyn
Vos Savant en la seva columna setmanal Ask Marilyn a la revista Parade , la qual va ser molt criticada
per catedràtics de estadística! Paul Erdös va dir que no s’ho creuria fins que
es demostrés en una simulació. La simulació la podeu trobar, per exemple, a:
Podeu posar 100 casos o 1.000 canviant o no canviant i
veureu els resultats.
Marilyn Vos Savant va ostentar el récord Guiness de la
persona amb més alt coeficient intel·lectual: 228.
Una manera de creure´s l’afirmació de Savant és exagerar
el problema. Suposem que tenim un milió de portes i que el presentador les va
obrint totes excepte una i la que hem escollit. La probabilitat de que nosaltres
l’haguem encertat amb la porta que hem escollit al principi és de una entre un
milió i la probabilitat de que la porta del cotxe estigui entre les restants és
de 999.999 entre un milió, però, com que
ara només queda una porta per obrir d’aquestes 999.999, és clar que hem de
canviar.
De fet, ara podem repetir l’argument en el cas de 3
portes. La probabilitat de que el concursant encerti la porta és 1/3. Hi ha una
probabilitat de dos terços de que el cotxe estigui en les altres dues portes.
Al obrir-ne una que té una cabra, la porta restant concentra els dos terços de
probabilitat i així, si el concursant canvia té el doble de probabilitat de
guanyar el cotxe.
La solució presentada per Vos
Savant mostra les tres possibles situacions del cotxe i les dues cabres i el resultat
de quedar-se amb la porta escollida o de canviar desprès d’haver escollit
inicialment la porta 1.|
Darrera
porta 1
|
Darrera porta 2
|
Darrera
porta 3
|
Si
es queda a la porta 1
|
Si
canvia a la porta oferta
|
Cotxe
|
Cabra
|
Cabra
|
Coche
|
Cabra
|
Cabra
|
Cotxe
|
Cabra
|
Cabra
|
Cotxe
|
Cabra
|
Cabra
|
Cotxe
|
Cabra
|
Cotxe
|
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada