Els nombres primers són fascinants. Són els àtoms de
l’aritmètica perquè tot nombre natural es descompon en factors
primers. La seva distribució és misteriosa si bé el teorema dels nombres
primers ens en dona una idea. Si designem per p(x) el nombre de nombres primers
menors o iguals que x, la densitat de nombres primers representada per p(x)/x
s’aproxima a 1/lnx quan x tendeix a infinit, no en el sentit de que la
diferència s’aproxima a zero sinó en que el quocient s’aproxima a 1. lnx és el
logaritme neperià de x i per a que entengueu la funció p(x)/x us poso un
exemple: p(10) =4 (hi ha 4 primers menors o iguals que 10: 2,3,5 i 7). Per
tant, p(10)/10= 0,4. Una altra manera d’expressar-ho és que p(x) es pot
aproximar per x/lnx. Hi ha conjectures famoses sobre nombres primers com,
per exemple, que existeixen un nombre infinit de primers bessons, que són els
que es diferencien en dues unitats com el 17 i el 19. Avui en dia, encara
no se sap si això és cert, encara que existeixen resultats que s’hi aproximen.
La pregunta és si els nombres primers tenen aplicacions
pràctiques i la resposta és que sí. Serveixen per a codificar dades, degut a
que multiplicar nombres primers molt grans no és difícil pels ordinadors, però,
en canvi, descompondre un nombre gran producte de dos primers és molt
difícil. (La situació variaria el dia que sigui possible construir
ordinadors quàntics). Un dels mètodes que es fa servir avui en dia per a
codificar dades, per exemple, quan fem transaccions per internet és el mètode
RSA inicials dels tres científics del MIT que el van proposar: Ron Rivest, Adi
Shamir i Leonard Adelman. Els tres es van basar en treballs previs de
Ralph Merkel i, posteriorment, Martin Hellman i Whitfield Diffie sobre sistemes
criptogràfics de clau pública. A Rivest, Shamir i Adelman se’ls va
atorgar el premi Turing en el 2002, el més prestigiós de les ciències de la
computació.
Per explicar com funciona el sistema RSA, suposem que jo us
vull convèncer de que conec els resultats d’una loteria que es coneixeran demà
sense revelar-los. Escullo un nombre primer gran que contingui els sis nombres
de la loteria, el multiplico per un nombre primer més gran, us dono el resultat
de la multiplicació i us dic que en certes posicions del factor primer petit
està el resultat de la loteria. Quan al dia següent es coneixen els resultats,
us dono els dos factors primers i vosaltres podeu comprovar que el producte és
el nombre que us he donat. També podeu veure que en les posicions esmentades en
el factor primer petit trobeu les xifres del nombre premiat.
Aquest mètode es pot fer servir per a enviar missatges
xifrats. Abans d’enviar el missatge us dono un nombre primer molt gran. Quan us
vull enviar un missatge escullo un nombre primer molt gran on hi poso en forma
numèrica el missatge. Us puc enviar en forma pública el producte dels
nombres primers. Només vosaltres que coneixeu un dels factors podeu descobrir
el segon factor i d’aquesta forma llegir el missatge que transporta. Aquest és,
en essència, de forma simplificada, com funciona el sistema RSA.
G.H. Hardy en el seu famós llibre “A Mathematician’s Apology” va dir que les
matemàtiques pures, en particular, la seva especialitat, la teoria de nombres
naturals, no tenia aplicacions pràctiques. Com veieu, es va equivocar.
Nota:
Una de les fonts d’aquest blog és el llibre de Zvi Artstein
“Mathematics and the Real World”.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada