Ens haurien de sorprendre certes coincidències?

De vegades es produeixen esdeveniments que ens sorprenen per coincidències inusuals o casualitats, però alguns poden tenir una explicació ben racional si tenim en compte el nombre d’oportunitats per a que una cosa passi.

M’explico, si em toca la loteria puc pensar que he tingut sort, però la loteria ha de tocar a algú, això és una certesa. Hi ha un principi,  que podem anomenar llei dels grans nombres,  que diu que una cosa passarà si el nombre d’oportunitats de que passi és molt gran, encara que sigui molt poc probable que passi a cada oportunitat particular.  El que també passa és que en alguns casos sembla que hi hagin poques oportunitats quan el que succeeix és que en hi han moltes. Hi ha una altra llei, que podem anomenar la llei de les combinacions,  que diu que el nombre de combinacions creix molt ràpidament amb el nombre d’elements que es poden combinar.

Per explicar tot això amb un exemple podem parlar del problema de l’aniversari. Suposeu que esteu en un grup de 23 persones agafades a l’atzar i us pregunteu quina probabilitat hi ha de que dues persones facin anys el mateix dia. Tenint en compte que l’any té 365 dies (si deixem de banda els anys de traspàs) suposo que direu que la probabilitat és minsa. Doncs resulta que és més del 50%! Fixeu-vos que no estic preguntant quina probabilitat hi ha de que una altra persona faci anys el mateix dia que jo, la qual cosa seria improbable (6% en el cas de 23 persones). El que estem dient és que almenys dues coincideixin. Jo només puc formar parella amb 22 persones, però en el grup de 23 es poden formar 253 parelles (la fórmula és en general n(n-1)/2). Es aquí on entra la llei de les combinacions.

La millor manera de demostrar que la probabilitat de coincidència d’aniversaris és 51% en el cas de 23 persones és plantejar la pregunta contrària, quina és la probabilitat de que no coincideixin cap. Posem-los en fila: la probabilitat de que el segon no coincideixi amb el primer és 364/365, la que del tercer no coincideix amb els  dos primers 363/365 i la de que passin les dues coses és la multiplicació 364/365 x 363/365 i seguim així arribant al producte 364/365 x 363/365 x ...x 343/365. Com que tots els aquest nombres són més petits que 1 el seu producte va disminuint amb el nombre de factors i arriba a 0,49. Per tant, la probabilitat de no coincidència és del 49% i la de que hi hagi almenys una coincidència és del 51%.

Vegem coses encara més sorprenents. El dia 6 de setembre del 2009 la loteria búlgara va donar com a resultat el nombres 4, 15 , 23, 24 , 35, 42.  Sorprenentment, la propera vegada que es va realitzar, el dia 10 van sortir els mateixos nombres!  Les autoritats van dir que era la primera vegada que això passava en tota la història de 52 anys i un ministre va obrir una investigació per si havia hagut un frau.

Però l’explicació està en la llei dels grans nombres. En primer lloc, es juguen moltes loteries en el món i en segon lloc cada una d’elles es fa amb una certa freqüència, per tant el nombre d’oportunitats és molt gran. Finalment, com en el cas del problema de l’aniversari si realitzes una loteria n vegades el nombre de parelles de resultats és n(n-1)/2 i entre elles pot haver-hi una coincidència.  La loteria búlgara és una loto 6/49 on s’extreuen grups de 6 boles d’un total de 49 i això dona 13.983.816 grups,  segons una coneguda fórmula que vam aprendre en el batxillerat.  Per tant, és molt poc probable que dos realitzacions  concretes coincideixin. Però si realitzem el sorteig 50 vegades obtenim 1.225 parelles i si el sorteig el fem 1.000 vegades les parelles augmenten ràpidament a 499.500. Entrem en el reialme dels grans nombres i per tant les oportunitats augmenten.  Es fàcil calcular que si el sorteig el fem 4.404 vegades és més probable que hi hagi una coincidència que al contrari.

Si fem dos sorteigs setmanals, és a dir 104 a l’any, en 43 anys tenim més possibilitats de que hi hagi una coincidència que al contrari. Es clar que això només és per una loteria, però si ara observem totes les loteries que hi ha en el món, pot ser ja no ens ha de sorprendre que els nombres es repeteixin una sèrie a continuació de l’altra, el fet que es podia haver catalogat de inusual en el cas de la loteria búlgara.  Per exemple una de les loteries de Israel va donar els nombres 13, 14, 26, 32, 33, 36 el dia 21 de setembre del 2010 i els mateixos el 16 d’octubre.  I la loteria de Carolina del Nord anomenada Cash 5 va produir els mateixos nombres guanyadors els dies 9 i 11 de juliol del 2007.

Un cas molt curiós es va produir a les loteries de Massachusetts i Rhode Island. En el 1980 Maureen Wilcox va comprar uns bitllets de les dues loteries i va veure que els nombres eren guanyadors a les dues loteries, però, malauradament per ella,  en el bitllet de Rhode Island hi havia els nombres guanyadors de Massachusetts i viceversa!

Podeu llegir més casos al llibre “The Improbability Principle: Why Coincidences, Miracles, and Rare events Happen Every day” de David J. Hand